对弧长曲线积分

曲线积分或第一类曲线积分, 记作L f ( x, y)ds, 即
高等数学A(下）
n
L
f ( x, y)ds lim 24 - 50
i 1
f (i ,i ) si
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被积函数
n
L
f ( x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的一点,
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i 1
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
如果当各小弧段的长度的最大值 0时, 这和的极限
存在, 则称此极限为函数f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
y 1.引例: 曲线形构件的质量
对于匀质之质量，M s.
对于非匀质之质量，
A
分割 M1, M2 , , Mn1 si , o
B
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
M1
M i 1
x
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
y 1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件
在x o y面上所占 弧段为AB , A
其线密度为
o
x
现计算此构件的质量。
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积分和式
积分弧段
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的
曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广 函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线
积分为
n
f ( x, y, z)ds lim
0 i1
(1) sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
O
ds dy dx
xx
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如果曲线 L 的方程为
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) tk ,
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
则
n
lim
0
f
k 1
[
(
k
) ,
(
k
)
]
注意 2(t ) 2(t ) 连续
n
n
lim
0
k
1
f
[
(
k)l,im0(k
k1)
f]
(
k
,k
)sk
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f (x, y)ds
(L由
组成)
( l 为曲线弧 L的长度)
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
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因此
则
n
lim
0
k
f
1
[
(
k
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
,
(
k
)
]
注意 2(t) 2(t ) 连续
n
n
lim
0
k
1
f
[
(
k)l,im0(k
k1)
f]
(
k
,k
)sk
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因此
说明:
n
求和 M (i ,i ) si .
近似值
i 1 n
精确值
取极限
M
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
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1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2 , , Mn1把L分成n
L弧长
ds;
L
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的柱面在点( x, y)处的高时,
S柱面面积
f ( x, y)ds.
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
Ix L y2ds, I y L x2ds.
(5) 曲线弧的重心坐标
z f (x, y)
f ( (t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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三、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示L的线密度时, M ( x, y)ds ; L
(2) 当 f ( x, y) 1时,
则有
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ), 则
f (r( ) cos , r( )sin
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
: x (t), y (t), z (t) ( t )
则 f (x, y, z)ds
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线弧 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
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Chapter 11
第一节 对弧长的曲线积分
且
f (x, y)ds f [ (t ) , (t )] 2(t ) 2(t ) d t
L
证: 根据定义
n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
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设各分点对应参数为
点 (k ,k ) 对应参数为
sk
tk tk 1
f (i ,i , i ) si .
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4. 性质
(1) L f ( x, y) g( x, y) ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds （, 为常数)
(2)
L
f (x, y)ds
L1
f ( x, y)ds L2