第三章(1)连续信号的傅里叶级数

解：
f
an
(t
)
2 T
a0
T2
2 T
f
2
(t
an cosnt
n1
)cos nt dt
n1
bn
sinnt
2
0 (1)cosnt dt 2
T
2 cosnt dt
T
1
T 2
2
s
innt
0
T0
T
2 1 sinnt 2
n T
T T n
0
2
1
2 sinnt0
2
1
T
sinnt 2
)dt
4E
sin x cos(nx)dx
0T 0
0T 2
E cos[(n 1)x] cos[(n 1)x]
(n 1)
(n 1)
0
2E
1
cos(n
n2 1
)
,
n
0,1,2,
4E
an
2E
1 cos(n
n2 1
)
0
, n
, n 4E
n2 1
0 1,3,5 , n 2,4,
2 T
2
f (t)cosntdt
4 T
T
2 T
f (t)sinntdt
0
2
T
2 f (t)cosnt dt
0
(n 0, 1, 2,.......) (n 1, 2,.......).
从而有
An an2 bn2 an
n 0, 1, 2,.........
n
arctg bn an
m
( m为整数)
n
n
n
0 ,
2
1
cosn
4
n
n
,
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
an 0 n 0,1 , 2 , 3,.......
0 ,
bn
4
n
,
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
（a）全波整流信号
（b）半波整流信号
解 （1）全波整流信号
图（a）的全波整流信号可写成（其周期 为原正弦信号角频率 ）
T
2 0
， 0
f1 (t )
E sin(0t )
E sin( 2
T
t)
由于它是t的偶函数，故 bn 0，
4
an T
T
2 0
f1(t)cosnt Biblioteka Baidut
(n 0, 1, 2,.......)
若复函数集 i (t) (i 1 , 2 , ....., n) 在区间 (t1 , t 2 ) 满足
t2 t1
i
(t
)
j (t )dt
0 ki
0
i j i j
，则称此复函数集为正 交函数集。
复函数集 {e jnt } (n 0 , 1 , 2 , ....) 在区间 (t0 , t0 T )
T 2
后，与后半周期波形
对称于横轴即：f (t) f (t T ) ，称为奇谐函数。
2
f (t)
1
-T
-T/ 2
0
T/ 2
-1
图 3.2-6 奇谐函数
T
t
此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不
含有偶次谐波分量。即
a0 a2 a4 b2 b4 0
例3.2-2 正弦交流信号 E sin(0t) 经全波或半波整流后的 波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。
2
8
T
T
4 0
E
s
in(
2
t)
cos(nt )dt
8E
T
T
4 0
sin(
2
t
)
cos(nt
)dt
an
8E T
T
0
4
s
in(
2
t
) cos (nt
)dt
令 x t ，则 dx dt 对上式进行变量替换:
8E
an T
0
sin
x 2
cos(nx)dx
T 4
2E
cos[(n 2(n
2F 2 ，它可分解为：
T
f
(t)
a0 2
a1
cos(t)
a2
cos (2t )
......
b1 sin(t ) b2 sin(2t ) .....
a0 2
an
n 1
cos(nt)
bn
n1
s in(nt )
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
2
T
。
那么,傅里叶系数如何求得呢?
a0 1
里叶级数”，统称为傅里叶级数。
1 , cos t , cos2 t , ..., cos(m t) , ...
sin t , sin2 t , ...,
sin(n t)
,...
{e jnt } (n 0 , 1 , 2 , ....)
一、周期信号的分解
设有一个周期信号 f (t) ，它的周期是 T ，角频率
t2
t1
i
2
(
t
)dt
如果分解的项数越多则误差愈小。即 n ，均
方误差 2 0 ，即 f (t) 在区间 (t1 , t2)内分解为无穷多项 之和。
3.2 傅里叶级数
将周期信号 f (t) f (t mT) 在区间t0 , t0 T 内展开成完
备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅
f t 4 [sint 1 sin3t 1 sin5t .... 1 sinnt ...]
3
5
n
n 1,3,5,
它仅含有一、三、五、七.... 等奇次谐波分量。
如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt
0
T/ 2
t2
t1
i
(t
)
j
(t
)dt
0, ki 0,
i j i j
k i 为常数，则称函数集 1(t)......... n(t) 为区间
[t1, t2 ]内的正交函数集。
（3）完备正交函数集
如果在正交函数集 1(t)......... n (t) 之外不存在函数
(t) 满足等式
t2
t1 i
内是完备的正交函数集。
t0 T e jmt (e jnt )dt e dt t0 T j(mn)t
t0
t0
其中
T
2
。
0 T
, ,
mn mn
二、信号分解为正交函数
设有n个函数 1(t) ,2 (t) , .... ,n (t) 在区间 (t1 , t2 ) 构成
一个正交函数空间。将任一函数 f (t)用这 n 个正交函数的
4
T
T
2 0
E
s in( 0 t
)
cos(nt )dt
4E
T
T
2 0
s
in(
0
t
)
cos
(nt
)dt
基波角频率
( 2 ) 与信号角频率
T
0
相等,
并令 x t 0t ，对上式进行变量替换得:
x t 0t
dx
0dt
dt
1
0
dx
4E
an T
T
2 0
sin(
0t
)
cos(n
0t
n 可见，An 是 的偶函数，即有 An An
n 而 n是 的奇函数，即有 n n
可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为
直
流分量
A0 2
，一次谐波或基波
A1 cos(t 1 )
，
它的角 频率与原周期信号相同，二次谐
波 A2 cos(2t 2 ) ， ……
以此类推，三次，四次等谐波。
Tt
(c)基波+三次谐波+五次谐波
(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波
图 3.2-3 方波的组成
（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于 原方波信号。
（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断 点。
（3）即使 n ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，
有 9%的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波
线性组合来近似，可表示为：
n
f (t ) C11(t ) C2 2 (t ) ...... Cn n (t ) C j j (t ) j1
根据最小均方误差原则，可推出：
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
n 一般而言 An cos(nt n ) 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
f
(t)
A0 2
A1 cos(t
1)
A2 cos(2t
2) .....
A0 2
An cos(nt n )
n1
例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。
2T
T
2 T
f (t)dt
2
2
an
T
bn
2 T
T
2 T
f (t)cos(nt)dt
2
T
2 T
f (t)sin(nt)dt
2
, ,
n 0 , 1 , 2 ,...... n 1 , 2 , .....
2
an
T
bn
2 T
T
2 T
f (t)cos(nt)dt
2
T
2 T
f (t)sin(nt)dt
(t )
(t )dt
0
i 1,2,......., n
，则称该函数集为完备正交函数集。
1 , cos t , cos 2t , ... , cos(mt) , ... , sint , sin2t ,.., sin(nt),...
在区间 (t0, t0 T )
内组成完备正交函数集。
T 2
对于复函数:
n T
T T n
0
2
2
T
an 0
n 0,1 , 2 , 3,.......
2
bn T
T
2 T
f (t)sinnt dt
2
2 T
0 T
2
(1)
s
innt
dt
2 T
T
2 sinnt dt
0
2
1
0
cosnt
T
2 1 cosnt 2
T n
T T n
0
2
1 1 cosn 1 cosn 1
的真值之间没有区别。 (吉布斯现象） 主体 -----低频 细节------高频
二、奇偶函数的傅里叶系数
若给定的 f (t) 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将 等于零从而式计算较为简便。 （1）f (t) 为偶函数
则有 f (t) f (t) ，波形对称于纵坐标。
2
an
T
bn
2 T
T
（2）f (t)为奇函数 则有 f (t) f (t) ，波形对称于原点。
这时有
an 0
bn
4 T
T
2 f (t )sin(nt )dt
0
n 1,2,
进而有
An
n
bn
(2m 1)
2
n 1,2,
(m为 整 数)
实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。
f (t) fod (t) fev(t)
f (t)
fod (t)
fev(t)
其中
fod (t) fev(t)
fod fev(t
(t )
)
f
e
v
(t
)
f
od
(
t
)
f (t) f (t) 2
f (t) f (t) 2
**一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关， 而且与原点的选择有关。
（3） f (t)为奇谐函数
如果
f (t) 的前半周期波形移动
第三章 傅里叶变换和系统的频域分析
本章主要内容:
3.1 信号分解为正交函数 3.2 傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 LTI连续系统的频域分析 3.8 取样定理
变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和 或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对 给定信号的响应（零状态响应）。
2) .....
A0 2
An cos(nt n )
n1
式中：
A0 a0
An an2 bn2 ,
则有
n arctan( a0 A0
bn an
)
n 1 , 2 , 3 ,.....
an
An cos n
,
n 1 , 2 , ......
bn An sinn , n 1 , 2 , ......
2
, ,
n 0 , 1 , 2 ,...... n 1 , 2 , .....
n 由上式可见，a n是 的偶函数 ，an an n bn 是 的奇函数， bn bn
由于 cos nt和sin nt 是同频率项,因此可将其合并
f (t)
A0 2
A1 cos(t 1 )
A2 cos(2t
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
概念相似。
y
A C1vx C2v y
C2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C1vx
x
它们组成一个二维正交矢量集。
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
一、正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2 (t ) 若满足条件
t2
t1
1
(t
)
2
(t
)dt
0
则函数 1(t)与 2 (t )为在区间 [t1, t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2 上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
f1 (t )
2E
[1
2 3
cos
(2
0
t
)
2 15
cos
(4
0t
)
]
可见，它除直流外，仅含有 0 的偶次谐波。
想一想：本题中若把 f1(t)看成以T/2为周期，则
2
T 2
20
f1
t
E
sin
2
t
由于它仍是的偶函数，故 bn 0，
an
4
T
T
4 0
f1(t)cos ntdt
(n 0, 1, 2,.......)