带电球体电场与电势的分布
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带电球体电场与电势的
分布
文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
带电球体电场与电势的分布
王峰
（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）
在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -ϕ”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．
中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。
电场分布：
1.1.1内部（r ∵2 22 12 1214sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=•= 图 2 22 2 2 2224sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=•= 且P E 1与P E 2等大反向 ∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处 为零。 1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强 P E 。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的电场强度P E 的方 向最终应该沿OP 连线的方向。 上述求电场强度P E 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds 和'ds 所在球面上的带电圆环进行π20→的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的π→0的积分，最终求出带电球体在P 点的合场强P E 。积分过程如下：如图（2）所示，设x AP r OP R OA ===，，，球表面电荷的面密度为2 4R Q πσ= ˊ 图 ∵θσcos 2 x ds K E P =∆ 取球面极坐标，则ψϕϕd R Rd ds sin •=，其中ϕ为沿直径方向的从 π→0积分角，ψ为带电圆环的从π20→的还积分。 θψ ϕϕσππ cos sin 2002 2⎰⎰=⎰⎰∆=x d d R K E E p P 由OAP ∆可知：ϕcos 222rR R r x -+= 又∵ϕ ϕϕ θcos 2cos cos cos 22rR R r R r x R r -+-=-= ⎰ -+--=⎰⎰ -+-=∴π ππϕϕϕσπϕϕ ϕϕψσ0 2 3 22220 2 3 222)cos 2() cos ()cos (2)cos 2(sin )cos (rR R r d R r R K rR R r d R r R d K E P 又∵r rR R r R r r rR r R r 2cos 22cos 22cos 22222ϕ ϕϕ-++-=-=- ()2 2 22 2222021220212222200 212 223222222 2)(211122) cos 2(12112121)cos 2(1 12312122)cos 2()cos (21)cos 2()cos (22r Q K r R K R r R r R r R r R r R r R r R K rR R r rR r rR R r rR r R r R K rR R r d r rR R r d r R r R K E P =• =⎥⎦⎤--++⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+•+-•+⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ -+•+-•-=⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+-•+-+-•-=∴σπσπϕϕσπϕϕϕϕσπππππ 2 r Q K E P =∴ 由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度E ，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。 ∴ 2 r Q K E ＝外 当R r =时，有2 R Q K E =，所以带电金属球或带电球壳的内、外电 场强度的分布在R r =处电场强度的值有突变的情况。 1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E 的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。