八年级数学上册轴对称解答题专题练习(解析版)

八年级数学上册轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，

设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2

x 可得°180-22

x x = ∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE 时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE 时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C 为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．如图，在等腰直角ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是ABC △ 内一点，连接 AD ，AE AD ⊥ 且 AE AD =，连接 BD 、CE 交于点 F .

（1）如图 1，求BFC ∠的度数；

（2）如图 2，连接ED 交 BC 于点 G ，连接 AG ，若 AG 平分BAD ∠，求证：

2EAC EDF ∠=∠；

（3）如图 3，在（2）的条件下，BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ，DH AM ⊥，连

接 HN ，若ADN ∆的面积与DHN 的面积差为 6，6DF =，求四边形 AMFE 的面积.

【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形.

【解析】

【分析】

（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以

90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，

GB GK DG ==，所以

DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以

2CAE EDF ∠=∠．

（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，

所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122

DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形.

【详解】

（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以

CAE CGE ∠=∠，

由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，

设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒，

所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=， 在AB 上截取AK AD =，连接KG ，

因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，

所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为

2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．

（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以45ABN α∠=︒-，

因为2BAD α∠=，所以45ADN α∠=︒+，因为902DAN α∠=︒-，所以

45AND ADN α∠=︒+=∠，所以AD AN =，因为AD AE =，所以AE AN =， 过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，

因为45ACE ABD α∠=∠=︒-，2CAE α∠=，所以45AET ANR α∠=︒+=∠， 因为AE AN =，所以ANR AET ≌，所以AR AT =，所以FA 平分BFT ∠， 所以45AFN AFE ∠=∠=︒，因为45AMN ∠=︒，所以AFM AMF ∠=∠，所以AF AM =，

所以FR MR =，因为DR RN =，所以DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ， 因为45AMN ∠=︒，90DHM ∠=︒，所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒，所以HP PM DP ==，

设DP x =，所以2DM FN x ==，设DR y =，所以2DN y =，所以2MR x y =+，因为45MAR ∠=︒，

所以2AR MR x y ==+，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122

DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，

因为226DF x y =+=，所以3x y +=，所以2y =，1x =，

因为AF AF =，ANF AEF ∠=∠，所以AEF ANF ≌，所以FN EF =，因为AR AT =，

所以AEF ANF ADM S S S ∆∆∆==，因为142

ADM S DM AR ∆=⋅⋅=， 所以20ADM ADN ANF AEF AMFE S S S S S ∆∆∆∆=+++=四边形.