【新教材】新人教A版必修一 函数模型的应用实例 学案

3.2.2函数模型的应用实例

学习目标1。能利用已知函数模型求解实际问题;2.能自建确定性函数模型解决实际问题；3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．

知识点一几类已知函数模型

思考指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？

答案指数函数y＝a x(a>0,a≠1)的系数为1，且没有常数项．确定一个指数函数解析式只需要一个条件;指数型函数模型f（x)＝ba x＋c（a,b，c为常数，b≠0,a＞0且a≠1)指数式前的系数不一定是1,而且可能还有常数项．所以确定指数型函数通常需要3个条件．

几类函数模型：

思考数据拟合时，得到的函数为什么要检验？

答案因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验,调整模型或改选其他函数模型．

面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：

(1)收集数据；

（2)画散点图;

（3)选择函数模型;

(4）求函数模型；

(5）检验;

（6）用函数模型解释实际问题．

类型一利用已知函数模型求解实际问题

例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km。火车出发10min开出13km后，以120km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系,并求火车离开北京2h内行驶的路程．

解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝错误!（h),所以0≤t≤错误!。

因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t 之间的关系是S＝13＋120t（0≤t≤错误!).2h内火车行驶的路程S＝13＋120×（2－错误!)＝233 （km)．

反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0）或直线下降(自变量的系数小于0），构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．

跟踪训练1商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元），试分别建立两种优惠办法中

y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法?

解由优惠办法①得函数关系式为

y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60（x≥4，x∈N*）．

由优惠办法②得函数关系式为

y2＝（20×4＋5x)×92%＝4。6x＋73.6（x≥4,x∈N＊）．

当该顾客购买茶杯40个时,采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257。6元，由于y2〈y1，因此应选择优惠办法②.

类型二自建确定性函数模型解决实际问题

例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝错误!－48x＋8000,已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解设可获得总利润为R（x）万元,

则R(x)＝40x－y＝40x－错误!＋48x－8000

＝－错误!＋88x－8000

＝－错误!(x－220)2＋1680 （0≤x≤210)．

∵R(x）在［0，210]上是增函数,∴x＝210时，

R（x)有最大值为－错误!（210－220）2＋1680＝1660.

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．

反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么,列什么，限制什么"．

求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．

设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．

列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等．

限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中，除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．

跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝错误!x，Q2＝错误!错误!.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？

解设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资（3－x）万元，总利润为y万元．

∴Q1＝错误!x,Q2＝错误!错误!。

所以y＝错误!x＋错误!错误!(0≤x≤3），

令t＝错误!（0≤t≤错误!)，则x＝3－t2。

所以y＝错误!（3－t2)＋错误!t＝－错误!（t－错误!)2＋错误!.

当t＝错误!时，y max＝错误!＝1。05（万元)，即x＝错误!＝0。75（万元)，所以3－x＝2。25（万元)．

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1。05万元．

类型三拟合函数模型

例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解(1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…,r9.由55196(1＋r1) ＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0。0200.同理可得,r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0。0250，r5≈0。0197，r6≈0。0223,r7≈0.0276，r8≈0。0222，r9≈0。0184.于是，1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9）÷9≈0.0221.令y0＝55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55196e0。0221t，t∈N。根据表中的数据作出散点图,并作出函数y＝55196e0。0221t （t∈N)的图象．

由图可以看出,所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．

（2)将y＝130000代入y＝55196e0。0221t，

由计算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年)我国的人口就已达到13亿．

反思与感悟1.已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．

2．判断所得到的数学模型是否拟合,必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解,只有满意解．

跟踪训练3已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2。1%。

(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍？