数学建模实验答案 离散模型

实验09 离散模型（2学时）

（第8章 离散模型）

1. 层次分析模型

1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264

已知正互反阵

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/16/1412/1621

A 注：[263]定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根 ≥ n 。

★(1) 用MATLAB 函数求A 的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：

(2) 幂法（见[263]）

A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：

a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为1）(0)w ；

b. 计算(1)

(),0,1,2,k k w

Aw k +==%L ；

c. (1)

k w +%归一化，即令(1)

(1)

(1)

1

k k n

k i

i w

w

w

+++==

∑%%；

d. 对于预先给定的精度ε，当(1)

()||(1,2,,)k k i

i w w i n ε

+-<=L 时，(1)k w +即

为所求的特征向量；否则返回到步骤b ；

e. 计算最大特征根(1)()11k n i

k i i

w n w λ+==∑%。

注：

()()(1)()(1)

()

1,2,,k k k k k i

k i

Aw w w w w i n

w λλλ++≈⇒≈⇒∴≈=%%L

函数式m 文件如下：

% lambda 最大特征根

% w 归一化特征列向量

if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A），则d取0.000001 d=1e-6;

end

n=length(A); %取方阵A的阶数

w0=rand(n,1); w0=w0/sum(w0);%任取归一化初始列向量while 1

ww=A*w0;

w=ww/sum(ww); %归一化

if all(abs(w-w0)

break;

end

w0=w;

end

lambda=sum(ww./w0)/n;

☆(2) 用幂法函数求A的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：

(3) 和法（见[264]）

A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：

a. 将A 的每一列向量归一化得∑==n

i ij

ij

ij a a w 1

~； b. 对ij

w ~按行求和得∑==n

j ij i w w 1

~~； c. 将i w ~归一化T n n

i i

i i w w w w w w w ),,,(,~~211

Λ==∑=即为近似特征向量； d. 计算∑==n i i

i

w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。

函数式m 文件如下：

☆(3) 用和法函数求A 的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：

(4) 根法（见[264]）

A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：

a. 将A 的每一列向量归一化得∑==n i ij

ij

ij a a w 1

~；

b. 对ij

w ~按行求积并开n 次方得∏==n

j n ij i w w 1

1

)~(~； c. 将i w ~归一化T n n i i

i i w w w w w w w ),,,(,~~211

Λ==∑=即为近似特征向量；

d. 计算∑==n

i i

i w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。 ★(4) 编写根法函数，用该函数求A 的最大特征根和特征向量。

[提示：sum, prod, diag]

对矩阵A 按行求和的调用为sum(A, 2)。 对矩阵A 按行求积的调用为prod(A, 2)。 diag(V)，用向量V 构造对角矩阵。

nargin，存放函数输入自变量的数目。

编写的程序和调用及运行结果（见[264]）：

function [lambda w]=p264GEN (A)

%根法——求正互反阵最大特征根和特征向量

% A 正互反方阵

% lambda 最大特征根

%w 归一化特征列向量

n=length(A);

AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A的每一列向量归一化

ww=(prod(AA,2)).^(1/n); %b. 对AA按行求积并开n次方，ww为列向量

w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w为近似特征列向量

lambda=sum(A*w./w)/n; %d. 计算最大特征根的近似值λ

1.2（验证，编程）旅游决策问题p250~256

在下面程序中，脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m（求A 的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR），

p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量）。

(1) 脚本式m文件如下：