2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2节参数方程教师用书文北师大版

第二节 参数方程

[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．

1．曲线的参数方程

一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝，

y ＝并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这

条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．

2．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x0＋tcos α，

y ＝y0＋tsin α(t 为参

数)．

(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝x0＋rcos θ，

y ＝y0＋rsin θ(θ为参数)．

(3)椭圆x2a2＋y2

b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝acos φ，y ＝bsin φ

(φ为参数)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)参数方程⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝，

y ＝

中的x ，y 都是参数t 的函数．( )

(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α

(t 为参

数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M0M →

的数量．( )

(3)方程⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )

(4)已知椭圆的参数方程⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2cos t ，

y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π

3

，

点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)曲线⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1＋cos θ，

y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )

A ．在直线y ＝2x 上

B ．在直线y ＝－2x 上

C ．在直线y ＝x －1上

D ．在直线y ＝x ＋1上

B [由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1＋cos θ，

y ＝2＋sin θ，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

cos θ＝x ＋1，

sin θ＝y －2，

所以(x ＋1)2

＋(y －2)2

＝1.

曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]

3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2＋2

2

t ，y ＝1＋2

2t (t 为参数)的普通

方程为________．

x －y －1＝0[由x ＝2＋

22t ，且y ＝1＋2

2

t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]

4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲

线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝t2，

y ＝22t

(t 为参

数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．

(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①

由⎩⎨

⎧

x ＝t2，y ＝22t ，

消去t 得y 2

＝8x .②

联立①②得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2，

y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．]

5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为