高中数学优质课一等奖课件向量数量积

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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
为(
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·,
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.

高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件

高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件

(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
19/42
【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ,由(a+2b)·(a-
b)=-2 得|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cos θ-2×4= -2,解得 cos θ=12,∴θ=π3 .故填π3 .
(2)由题意得,|α||β|sin θ=12,∵|α|=1,|β|≤1, ∴sin θ=21|β|≥12.又∵θ∈(0,π),∴θ∈π6 ,5π6 .
= 22,所以 θ=π4 ,故选 B.
4/42
2.若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满
足:C→M=16C→B+23C→A,M→A·M→B=( B ) A.-1 B.-2 C.2 D.3
【 解 析 】 因 为 M→A ·M→B = C→A-C→M ·C→B-C→M =
13C→A-16C→B
(2) 因 为
a·b

(e1

2e2)·(ke1

e2)

ke
2 1

(1

2k)(e1·e2)-2e22,且|e1|=|e2|=1,e1·e2=-12,所以 k
+(1-2k)·-12-2=0,解得 k=54.故填54.
14/42
(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°, 且|A→B|=3,|A→C|=2, ∴A→B·A→C=|A→B|·|A→C|cos 120°=2×3×-12=-3, ∵ A→P = λ A→B + A→C , 且 A→P ⊥ B→C , ∴ A→P ·B→C = λA→B+A→C·B→C=λA→B+A→C·A→C-A→B=0, 即 λA→B·A→C-A→B·A→C+|A→C|2-λ|A→B|2=0, ∴-3λ+3+4-9λ=0,解得 λ=172, 故答案为172.

平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)

平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)
性质
数量积满足交换律、分配律和结合律,即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$, $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$, $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律,且当两向量垂直时,其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中,用于计算力在某一方向上的做功;在计算机图形学中,用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处,但空间向量的数量积涉及三维空间,更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量, 通常用有向线段表示,有向线段 的长度表示向量的大小,有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示,如$vec{a}$或 $vec{AB}$,其中起点为A,终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$,
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度,记作$|vec{a}|$,对于任意向量$vec{a}$

高三数学复习平面向量的数量积及平面向量的应公开课一等奖课件省赛课获奖课件

高三数学复习平面向量的数量积及平面向量的应公开课一等奖课件省赛课获奖课件

AC=4,则A→B·A→C等于( A.-16
) B.-8
C.8
D.16
(3)(2010 年高考重庆卷)已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|
=1,|b|=2,则|2a-b|=( )
A.0
B.2 2
C.4
D.8
【思路点拨】 运用向量数量积的定义、性质、 运算律及模的求法,即可解决. 【解析】 (1)由题设知 f(x)=(b2-a2)x,因为|a|≠|b|, 所以函数 f(x)是一次函数且为奇函数. (2)法一:因为 cos A=AACB,故A→B·A→C=|A→B||A→C|cosA=
得|b+c|= sinβ+cosβ2+4cosβ-4sinβ2
= 17-15sin2β≤4 2. 又当 β=-π4时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2.
(3)证明:由 tan αtanβ=16
,得4cosα= sinα ,所以 sinβ 4cosβ
a
∥b.
【名师点评】 求解|b+c|时注意到向量b与向 量c的模都不是定值,因而运用坐标法先求和再 求模,此办法较|b+c|2=b2+c2+2b·c要快捷 得多.证明两向量平行时,能够运用两向量平行 的充要条件公式.
【解】 (1)因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·(b - 2c) = 4cosαsinβ - 8cosαcosβ + 4sinαcosβ + 8sin αsinβ =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此 tan(α+β)=2. (2) 由 b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
例2 (2009年高考江苏卷)设向量a=(4cosα, sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,- 4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; 【(3思)若路ta点nα拨·t】anβ=运1用6两,向求量证垂:直a∥时b数. 量积为0的 坐标运算公式能够解第一问,第二问中模的最值 能够转化为三角函数的有界性求解,第三问中运 用两向量平行的充要条件进行转化即可得证.

高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
向量数量积
1/13
物理问题:一个物体 在力F作用下发生了位移S,那么该 力对物体所做功为多少?
F
θ
S
力F所做功为: W=|F||S|cosθ 其中θ为向量F与S夹角.
2/13
向量夹角
两个非零向量 a和b a
b
A
a
θ Ob
B
作 OA a,OB b,则∠AOB= θ (0 ≤ θ ≤π) 叫做a与b夹角.
注:(1) 当θ =0时,a与b同向. (2) 当 θ = π 时,a与b反向. (3) 当θ = π/2 时,a与b垂直,记为a⊥b.
3/13
练习:指出向量a与b夹角。

b θ
B D
A C
BA与BC的夹角 ∠ABC AB与BC的夹角 ∠CBD
4/13
向量数量积定义
已知两个非零向量 a和b,它们夹角是θ , 则数量|a||b| cos θ 叫做a与b数量积(或内积),记为a·b
8/13
向量数量积运算律
(1) 交换律: a·b= b·a (2) 对实数结合律:(λ a) ·b= λ(a·b)= a·(λb) (3) 分配律:(a+b) ·c=a·c+b·c 思索:(a·b)c=a(b·c)成立吗 ? 不成立.
9/13
例2:已知|a|=2,|b|=3,a与b夹角为120°,求:
(×)
6/13
向量数量积性质
(1) a,b为两个非零向量 ,则a b ab = 0 (2) 当a与b同向时,ab = |a||b|
当a与b反向时,ab = -|a||b|
(3) a a | a |2 | a | a a a a 简记为 a 2
(4) a,b为两个非零向量,夹角为θ,cos θ=

向量的数量积课件

向量的数量积课件

详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用 来计算光照和阴影的方向和强度,或者用来 实现物理模拟和动画效果。此外,向量数量 积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算 法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
,数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投 影长度。
当两个向量的夹角为锐角时,数量积为正,表示两向量方向 相同;当夹角为钝角时,数量积为负,表示两向量方向相反 ;当夹角为直角时,数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配 律,即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明,两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要,因为它 提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模 长之积与夹角的余弦值的乘积,
记作a·b=abcosθ。
其中,a和b分别为两个向量,θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时,数 量积为0;当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概 念之一,是研究向量关系和进行数学 分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析 几何理论体系的重要组成部分,对于 理解空间几何和线性变换的本质具有 重要意义。

高中数学(人教B版)教材《向量的数量积》完美课件1

高中数学(人教B版)教材《向量的数量积》完美课件1

向量的数量积满足模的性质,即 $|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}}$。
03
CATALOGUE
向量的数量积的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过向量的数量积,可以计算出 合力的大小和方向,也可以计算
出分力的大小和方向。
速度和加速度
在物理中,速度和加速度都是向量 ,通过向量的数量积可以计算出物 体在某段时间内的位移和速度变化 。
01
分配律是数量积的一个基本性质,可以用来简化计算。
结合几何意义理解
02
通过结合向量的几何意义,可以更直观地理解数量积的计算过
程。
掌握特殊情况的处理方法
03
对于一些特殊情况,如两个向量垂直或平行,需要掌握相应的
处理方法。
易错点解析
理解概念不准确
对于数量积的概念理解不准确,导致在计算中出 现错误。
运算错误
性质
01
02
总结词:向量的数量积 的性质
详细描述
03
04
05
1. 向量的数量积满足交 换律,即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
2. 向量的数量积满足分 配律,即$(mathbf{A} + mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
向量与自身的数量积为该向量的模的 平方,即$vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$。
运算性质
向量的数量积满足非负性,即 $vec{a} cdot vec{b} geq 0$, 当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$同

全国高中数学优质课一等奖精品课件--平面向量的数量积

全国高中数学优质课一等奖精品课件--平面向量的数量积
平面向量的数量积
学习目标 1.理解向量数量积的定义及几何意义. 2.掌握数量积的性质. 3.掌握并能熟练运用数量积的运算律.
重点:理解数量积的定义及其几何意义.
难点:向量数量积的运算.
正值春暖花开季,姚明和撒贝宁去中国篮球 队进行采访,但半路车出了故障,他们把绳 子各自跨过肩膀用手拉着前行,他们出同样 的力,但谁做的功劳比较大呢?
(1)a2- b2;(2)(2a -b)·(a +3b);(3)|a +b|.
例2.已知a 1, b 2,且a b与a垂直, 则a与b的夹角θ是
A.60 B30 C.45 D.135
练一练 1.已知a 4, b 5.
1当a // b时,求a b 2当a b时,求a b.
3当a与b的夹角是 时,求 3a 2b 2a 3b , a 2b 3
如上图,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么 力所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我 们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算 的结果呢?
问题1
已知两个非零向量a 和b ,我们把数量 a b cos 叫作a 和
b的数量积(或内积),记作 a • b ,即 a • b a b cos
其中θ是a和b 的 夹角 ,θ的取值范围是 数量积的结果是一个数量. 规定:零向量与任一向量的数量积为0
0, 。
(2)投影的概念: 如图所示,OA a,OB b,过B作BB1垂直于OA,垂足为B1 则 ___b_c_os____叫做b在a方向上的投影 __a _co_s__叫作a在b方向上的投影。
这堂课你都掌握了哪些内容?
来考考你的同桌吧,小伙伴们

高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
AB AC 5 20 5
所以sinA= 1 cos2A 2 5 .
5
(2)若A为钝角,则 AB=A-C3(c-3)+16<0且
解得c>25.显然此时 AB和不A共C线.
3
故当A为钝角时,c取值范围为 ( 25, ).
3
AB与不A共C线,
43/55
【方法技巧】三角形或四边形形状判定 (1)可先求各边对应向量及模,看各边长度关系. (2)再求它们两两数量积,从而判定其内角是否为锐角(直角、钝角). 四边形还能够从对角线对应向量入手.
2 2 22 2 2 2 2
所以(a-b)⊥b,故C正确;
由 1 1 0 1 故 0D,错误.
22
19/55
2.方法一:设c=(x,y),则a·c=( ,3-1)·(x,y)
= 3x-y,b·c=(1, )3·(x,y)=x+ y3,
由a·c=b·c及|c|= 2 ,得
3x y பைடு நூலகம் 3y,
27/55
类型二 向量夹角与垂直问题 【典例】1.(·长春高一检测)已知三个点A,B,C坐标分别为 (3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若△ABC为直角三角形,且∠A为直角, 则实数m值为________. 2.已知a=(1,2),b= (1, 1 ),求a与b夹角.
2
28/55
【解题探究】1.典例1中由∠A为直角得出什么样结论? 提醒:由∠A为直角,得出 AB AC.即AB AC 0. 2.典例2中求向量a与b夹角需求哪些量? 提醒:依据向量夹角公式需求|a|,|b|以及a·b.
23/55
(2)利用数量积条件求平面向量坐标,普通来说应该先设出向量坐标, 然后依据题目中已知条件找出向量坐标满足等量关系,利用数量积坐 标运算列出方程组来进行求解. (3)形如(ma+nb)·(ka+eb)(m,n,k,e∈R)坐标运算,有两条路径:其一, 展开转化为a2,a·b,b2坐标运算;其二,先求ma+nb与ka+eb坐标,再运 算.

高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件

高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为θ, 则 (1)a·b=x1x2+y1y2.
(2)|a|= x12+y21. (3)cos〈a,b〉= x21x+1x2y+12 yx122y+2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 5.若 A(x1,y1),B(x2,y2),A→B=a,则|a|= x1-x22+y1-y22 (平面内两点间的距离公式).
平面向量的数量积
❖ 教学目标:1 .理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量 积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点:1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b). 解:由已知得,a·b=4×8× 12=-16. (1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2× (-16)+64=48,所以 |a+b|=4. ②因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16× 16-16×(-16)+ 4×64=768,所以|4a-2b|=16. (2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0, 所以ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即16k-16(2k-1)-2×64=0,解得k=-7. 即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.
课后作业

高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
4/44
(3)数量积的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|c_o_s__θ_的乘积.
2.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=_a_·_c_+__b_·c_(分配律).
26/44
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=_x_1_x_2+__y_1_y_2_. (2)模:|a|= a·a=___x_21_+__y_21__.
(3)夹角:cos θ=|aa|·|bb|=
8/44
解析:①向量 b 在 a 方向上的投影是数量,为|b|cos θ,它可 以为正,可以为负,也可以为 0;
②a·b>0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价,a·b>0 还包含 a 和 b 同向的情形.同样 a·b<0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角,还包 含 a 和 b 反向的情形;
③由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一定 相等,故数量积运算不适合结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c);
5/44
(1)[教材习题改编]在△ABC 中,A→B·B→C>0,则△ABC 是 ___钝__角___三角形.
解析:由向量夹角的定义可知,A→B与B→C的夹角为 π-B,则 A→B·B→C=|A→B||B→C|cos(π-B)>0,
得 cos(π-B)>0,∴cos B<0,即角 B 为钝角,∴△ABC 为钝 角三角形.
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W ab
F
s
分析背景 形成概念
定义 已知两个非零向量 a , b ,把数量| a || b | cosa,b 叫
做 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a b ,即 a b | a || b | cosa, b .
规定 零向量与任一向量的数量积为 0
分析背景 形成概念
定义剖析
1.“ ”是内积运算符号,不能省略也不能用“ ”代替;
应用概念 探究性质 一例
二练
三探究
应用概念 探究性质
讲一讲
例 已知| a | 5 ,| b | 4 , a,b 120 ,求 a b .
应用概念 探究性质
算一算
(1)已知| a | 2 ,| b | 3 ,a b=3,求 a, b .
性质 4 cos a,b a b (| a || b | 0)
人教B版 数学 必修 4
2.3.1 向量数量积的 物理背景与定义
内容提要
教材
学情 分析 分析
教学 目标
教法
学法
教学
过程
设计 说明
教材分析
物理 背景 抽象
减法
加 法
向量 概念
数 量 积
数乘
平面向量 的数量积
代数
几何
三角
学情分析
➢学习向量的概念和线性运算 ➢了解物理背景:力,位移,功
➢具备数学建模能力 ➢抽象能力有待提高
| a || b |
(2)已知| a | 2 ,求 a a .
性质 3 a a | a |2 ,即| a | a a
应用概念 探究性质
性质 2 a b a b 0且 a b 0 a b
性质 5 | a b || a || b |
辨一辨
(1) 已知 a b ,求 a b 的值.
(3) a a | a |2 即| a | a a ;
(4)
cos
a,
b
|
ab a || b
|
(|
a
||
b
|
0)

(5)| a b || a || b | .
归纳性质 学以致用 用一用
已知本课视频中大力士拉力 F 与卡车的位移 成 30 角,若卡车在位移方向上匀速前进了 5m , 拉力对卡车所做的功为 2500J ,求拉力 F 的大小.
教学重点、难点
平面向量数量积的定义和性质
理解向量在轴上的正射影及其数量; 发现平面向量数量积的性质
教法学法
教学方法
情境式和问题 探究式相结合
学法指导
自主探究与 合作交流
教法 学法
教学手段
多媒体和 导学案
教学过程
物理背景 抽象概括 问题探究
追溯
概念的起源
揭示
概念的内涵
发现
概念的外延
教学过程


已知向量 a 和轴 l .作 OA a ,过点 O , A 分别作
轴 l 上的垂线,垂足分别为 O1 , A1 ,则向量 O1A1 叫做 向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影),该射影在轴l
上的坐标,称作 a 在轴 l 上 的数量或在轴l 的方向上 的数量记作 a l .
a l | a | cos






































创设情境 引入背景
创设情境 引入背景
想一想
大力士拉车,沿着绳
F
子方向上的力为 F ,车的
位移是 s ,力和位移的
夹角为 ,所做的功为
s
多少?
W | s || F | cos
分析背景 形成概念
两个向量 的夹角
向量在轴上 的正射影
教学目标
情感态度与 价值观目标 通过物理背景,体 会向量的科学价值, 培养探索精神,提 高应用意识.
教学 目标
过程与方法目标 通过分析实际问题,经历 由特殊到一般、由具体 到抽象的过程;渗透分 类讨论、数形结合等思 想方法.
知识与技能目标 理解向量数量积的 含义及其物理意义; 初步掌握数量积的 性质;培养抽象思 维能力.
B
b
a
O
aA
分析背景 形成概念
规定
1. 0 a,b ;
b
2.当
a, b
2
时,则称向量
a
a 与向量 b 互相垂直.记作
a b;
3.零向量与任意向量垂直.
分析背景 形成概念
找一找
如图,在等腰直角 ABC 中, C 90 ,
求出下列两个非零向量的夹角.
(1) AC, AB =___;
C
(2) CA, CB =____;
(2)已知 a b 0 ,试讨论 a 与 b 是否垂直. (3)试比较| a b | 与| a || b | 的大小.
归纳性质 学以致用
(1)如果 e 是单位向量,则
a e e a | a | cos a, e ; (2) a b a b 0 ,且 a b 0 a b ;
2.数量积 a b 的结果是一个实数;
3. a b 的几何意义:数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 a 方向上的正射影的数量| b | cosa,b 的乘积;
4.性质 1 若 e 是单位向量,则 a e e a | a | cosa, e , 表示 a 在 e 方向上的正射影的数量.
向量的 数量积
分析背景 形成概念
问题 1 这个物理背景涉及哪些矢量? 影响功的因素有哪几个?
F
s
W | s || F | cos
b
B
b
a
O
aA
分析背景 形成概念
已知两个非零向量 a ,b ,作 OA a ,
OB b ,则 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹
角,记作 a, b .
b
a, b b, a
A
B
(3) CB, BA =____.
错 解 重 现
注意:求两个向量的夹角时要将两个向量平移到同一始点.
分析背景 形成概念
问题 2 如何作出力 F 在位移 s 方向上的 分力?它的大小是多少?
F
|
F|
cos
s
W | s || F | cos
A
a
O
x
O1 A1
l
al | a | cos
分析背景 形成概念
A
a
O
x
O1al A1
l
分析背景 形成概念
作一作
分别作出图中 OA ,OB ,OC 在轴 l 上的 正射影,并指出所作正射影的数量的符号.
B
A
C
l C1 O B1 A1
分析背景 形成概念
练一练
(1) 已知| OA | 5 , OA,l 120 ,求 OA A
120
在轴 l 上的正射影的数量 OA1 .
A1 O
l
(2) 已知 a,b 45 ,| a | 2 ,| b | 3 ,求
a a 在 b 方向上的正射影的数量. 45
b
已知两个非零向量 a 和 b , 则射影的数量.
分析背景 形成概念
sa
W | s || F | cos F b a b | a || b | cosa,b
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