点集拓扑复习

限个拓扑的并也可能不是拓扑. 5.拓扑空间中任意个紧致闭子集的交还是紧 致子集.有限个紧致子集的并还是紧致子集.
8. Lindeloff 空间闭遗传 , 不可积 , 但是连续映 射所能保持的. 紧致空间闭遗传 ,但是连续映射所能保持的 , 有限可积的.
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报告内容
Part I
纪念老人家（学习经历）
Part II 科研经历
Part III 博士论文
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点集拓扑学不同于数学专业的其他课程，
如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几
乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象
；而且基本概念是比较多的，对于学习者是比
较困难的，在教材里，介绍了一些概念之后，
接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少， 教材中出现的例子也比较抽象。
拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集
和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过
程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形
的直观性质，直到康托提出了集合论之后，以集合
论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的
发展。从欧拉的七桥问题，地图着色问题， Jordan 曲线定理：平面上简单闭曲线将平面分成两部分。
的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）
三、研究手法：集合的运算与逻辑推理．
五、几个注意点: 1．首先，要熟悉所有的定义、定理的内容． 2．涉及度量空间，常利用球形邻域． 3.有限个开集的交是开集 ,任意个开集的并是 开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭
集.
4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有
等数学的融入和镶嵌有着很深的影响。
学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当 有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷 回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？ 沿着什么思路研究？研究手法是什么？
一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （ 1 ）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓 扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、 闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻 域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词
的不变性和不变量，在而在近代拓扑学发展为
几个重要的分支：点集拓扑；代数拓扑；微分
拓扑；几何拓扑。
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点集拓扑, 既是数学的拓扑学的一个分支， 它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造 的基本性质.
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其中里面有很多内容在以前的学习都已经学习过 ，里面的很多定义定理在以前学习的课程中都有 ，虽然叙述方式不一样，但其中内容是一致的， 而且有些内容会在学习其它课程中有着具体的应 用和阐述证明。这充分的说明点集拓扑在对于高
一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （ 1 ）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓 扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、 闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻 域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词
的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）
一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （ 1 ）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓 扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、 闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻 域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词
的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）
（ 2 ）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间 、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何 集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一 个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成 不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间 吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．）
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高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研 究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问 题。再到黎曼发现了来自百度文库值函数解析函数可转化 为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑 分类。拓扑学都有着很深刻的发展。
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拓扑学是几何学的分支 , 且是与欧氏几何不 同的分支。研究对象是一般的几何图形（拓扑 空间），即研究几何图形的拓扑性质，而且对 应的欧氏几何图形在正交变换下的不变性和不 变量。拓扑学研究更一般的图形在弹性变形下
（ 3 ）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限 个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间 中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空 间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？）
2 ．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、
各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致
性有关的空间、完备度量空间． （ 1 ）并不是任何空间都可以成为上述空间 的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上 述空间．（各类空间之间没有必然的联系）