六年级奥数第十三讲行程问题专题

第十三讲 行程问题专题

知识提纲：

行程问题的三个基本量是路程、速度和时间。其互逆关系可用乘法、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）追及问题；（3）环形跑道问题；（4）流水行船问题等。行程问题的基本关系式：路程=速度×时间。它大致分为以下几种类型：

（1）相遇问题： 相向而行：相遇时间=路程÷速度和

相背而行：相背路程=速度和×时间

（2）追及问题：追及时间=路程差÷速度差

（1）环形跑道上，速度快的在前，慢的在后，追及路程=速度差×时间

（2）流水行船问题：船速=（顺流速度+逆流速度）÷2

水速=（顺流速度-逆流速度）÷2

顺流速度=船速+水速 逆流速度=船速-水速

船速：船在静水中的速度 水速：水流速度

解答行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象的表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

【典型例题1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米，甲车行完全程用了多少小时？

解析：解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”，结合图像不难理解，这句话的实质就是乙车48分钟行了24千米，可以先求乙车的速度，然后根据路程求时间，也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲车行完全程要用多少小时。 解答：解法一、乙车速度：24÷48×60=30（千米/时）

甲车行完全程用的时间：165÷30－60

48=4.7（时） 解法二：48×（165÷24）－48=282（分）=4.7（时）

答：甲车行完全程用了4.7小时。

【随堂练习1】甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车到达乙地后立即返回。两辆车从开出到相遇共用多少小时？

【典型例题2】两辆汽车同时从A，B两站相向开出，第一次在离A站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进，各自到达对方车站后都立即返回。又在距中点右侧30千米处相遇，A，B两站相距多少千米？

解析：从两辆汽车同时从A，B两站相对开出到第二次相遇，共行了三个全程，两辆汽车行一个全程时，从A站出发的汽车行了60千米，两车走3个全程时，这辆汽车走了3个60千米，这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于A,B两站路程的1.5倍，找到这个关系，A,B 两站之间的距离也就可以很快求出来了。

解答：（60×3＋30）÷1.5=140（千米）

答：A，B两站相距140千米。

【随堂练习2】两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧15千米处相遇，两站相距多少千米？

【典型例题3】在一个600米长的环形跑道上，兄弟两人如果同时从同一起点按顺时针方向跑步，哥哥比弟弟跑得快，每隔12分钟相遇一次，如果两人同时从同一起点反方向跑步，每隔4分钟相遇一次，兄弟两人跑一圈各要几分钟？

解析：根据条件可知，如果兄弟俩同向而行，每隔12分钟相遇一次，可知这是追及问题，即当哥哥比弟弟多跑一圈（600米）时两人相遇，兄弟两人的速度差为600÷12=50（米/分）；如果相背而行，每隔4分钟相遇一次，可知这是相遇问题。当兄弟两人合跑一圈（600米）时两人相遇，可以求出兄弟两人的速度和为600÷4=150（米/分）；根据两人的速度和与速度差，可以求出两人的速度，进而求出两人各跑一圈所用的时间。

解答：（1）兄弟两人的速度差：600÷12=50（米/分）

（2）兄弟两人的速度和：600÷4=150（米/分）

（3）哥哥的速度：（50+150）÷2=100（米/分）

（4）弟弟的速度：（150-50）÷2=50（米/分）

（5）哥哥跑一圈时间：600÷100=6（分）

（6）弟弟跑一圈时间：600÷50=12（分）

答：哥哥跑一圈要用6分钟，弟弟跑一圈要用12分钟。

【随堂练习3】父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇；如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子。在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？

【典型例题4】客车和货车同时从A、B两地相对开出。客车每小时行驶50千米，货车的速度是客车的速度的80%，相遇后客车继续行3.2小时到达B地。A、B 两地相距多少千米？

解析：要求A、B两地相距多少千米，先要求客、货两车合行全程所需的时间。客车3.2小时行了50×3.2=160（千米），货车行160千米所需时间为160÷（50×80%）=4（时）。所以（50+50×80%）×4=360（千米）。、

答：A、B两地相距360千米。

【随堂练习4】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，则4小时相遇；如果每人各自都比原计划少走1千米，则5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米？

【典型例题5】一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B 地到A地是逆水航行。已知船在静水中的速度是20千米/时，由A地到B地用了6小时，由B地到A地所用时间是由A地到B地所用时间的1.5倍，求水流速度。解析：在这个问题中，不论是逆水航行，还是顺水航行，其行驶的路程相等，都等于A、B两地之间的路程；而船顺水航行时，其行驶的速度为船在静水中的速度加上水流速度，而船在逆水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。

设水流速度为x千米/时，则船由A地到B地行驶的路程为[（20+x）×6]千米，船由B地到A地行驶的路程为[（20-x）×6×1.5]千米。

[（20+x）×6]=[（20-x）×6×1.5]

x=4

答：水流速度为4千米/时。