第七章板的弯曲

第七章板的弯曲

工程结构中常应用较多的平板构件，如楼房的地板、桥面、箱型结构的板件等。在线弹性分析范畴内，薄板弯曲问题应满足以下几个条件。

1.几何条件

几何条件要求结构属于薄板。工程中将厚度尺寸小于其他两个方面尺寸的结构称为板，平分板厚度的面称为板的中面，平板的中面为平面。设t表示板的厚度，l表示板中面的最小边长（圆板为直径）。在通常的计算精度要求下，

当

1

5

t

l

时则认为板为薄板。否则便认为是厚板，厚板的变

形和应力较复杂，应按空间问题进行处理。

2.载荷条件

载荷条件要求结构仅承受垂直于中面的横向载荷作用。一般情况下，薄板即可承受横向载荷作用，也可承受平行于板中面的膜载荷作用。在两种载荷作用下，板内将产生薄膜应力和弯曲应力。前者是作用在中面内拉、压力和面内切力（剪力），它使板产生面内变形。后者是指弯矩、扭矩和横向剪力，它使板发生弯扭变形。在小挠度情况下可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题的叠加便是一般载荷综合作用的结果。

3.小挠度条件

在横向载荷作用下，薄板中面上各个点沿垂直中面方向 的横向变形成为挠度，记为ω。大挠度与小挠度之间没有

显著的界限，一般认为15t ω

≤时为小挠度板，15t

ω

<<时

为大挠度板，

5t

ω

≥时为特大挠度板。在大挠度的情况下，

薄板面内变形和弯曲变形之间要相互影响，及横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更为复杂的理论分析方法。

第一节 薄板弯曲弹性力学基础

在受到垂直于板面的载荷后，薄板将会产生弯曲。对于薄板弯曲问题，研究时一般以未变形的板的中面为xoy 平面，厚度方向为z 轴方向。

一、克希霍夫（Kirchhoff ）假设

分析薄板弯曲问题时，采用克希霍夫（Kirchhoff ）假设：

（1）法线假设

在变形前，垂直于中面的法线，在变形后仍垂直于薄板弯曲了的中面，且法线线段没有伸缩，板的厚度没有变化。

这样，垂直于中面的应变可以忽略不计，即

0,0z yz zx εγγ===

根据几何方程，可得

0z z

ωε∂==∂

因此挠度ω只是坐标x 和y 的函数，表示为

(),x y ωω= （7-1）

也就是说薄板中面每一条法线上的所有各点都有相同的位移ω。

（2）正应力假设

在平行于中面的截面上，应力分量z σ、yz τ和zx τ远小于其他三个应力分量x σ、y σ和xy τ，可以忽略不计。

（3）小挠度假设

板中面只发生弯曲变形而没有面内变形，即板中面内各点没有平行于中面的位移，表示为

00

00

z z u v

==⎧=⎪⎨=⎪⎩

在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应力都可以用挠度ω表示。由于ω仅为x 和y 的函数。因此，实际薄板的

复杂三维问题就可以简化为二维问题来进行分析和计算。

位移与挠度的关系：

y y tg x

ω

θθ∂≈=-∂

x 方向的位移： (),,y u x y z z z x

ω

θ∂==-∂

x x tg y

ωθθ∂≈=∂ y 方向的位移： (),,x v x y z z z y

ω

θ∂=-=-∂

因在垂直于板面的载荷作用下，薄板中面每一条法线上的所有各点都没有绕z 轴的转动，所以

0z z

ωθ∂==∂

则对于中面上的某点，例如i 点，由于此时

0i i iz u v θ===，所以其唯一只剩下i ω、ix θ和iy θ三个位移

分量。

y

二、应变分量与曲率

由法线假设：0z zy zx εγγ===，所以应变分量只剩下

x ε、y ε和xy γ，分别为

22x u z x y

ωε∂∂==-∂∂

22y v z x x

ω

ε∂∂==-∂∂ （7-2）

22xy

u v z y x x y

ωγ∂∂∂=+=-∂∂∂∂ 上式为薄板弯曲问题的几何方程。令

{}222

22

2x y xy x y x y ωχωχχχω⎧⎫

∂-⎪⎪

∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪

∂⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎩⎭

（7-3）

式中{}χ称为薄板弯曲的广义应变。

x χ和y χ是板中面在x 和y 方向的变形曲率，xy χ是在xy 面上的扭率。则

{}{}x x y y xy xy z z εχεεχχγχ⎧⎫⎧⎫

⎪⎪⎪⎪

===⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭

（7-4）

三、应力分量与广义应力

由法线假设和正应力假设，得0z yz zx σττ===。由弹性力学物理方程，得

{}[]{}[]222222x y xy x D z D y x y ωσωσσετω⎧⎫∂⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪

===-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪

∂⎪⎪∂∂⎩⎭

（7-5）

式中

{}2101011002E D μμμμ⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥

=⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥

⎣⎦

称为薄板弯曲问题的弹性矩阵。

取微元体tdxdy ，则在微元体上作用着弯矩x M 、y M 和扭矩xy M ，它们是正应力x σ、y σ和剪应力xy τ在板截面上的合力矩。如果x M 、y M 和xy M 表示单位宽度上的内力矩，则薄板弯曲的广义应力为