第1章固体中电子能量结构和状态1

第1章 固体中电子能量结构和状态
材料的物理性能强烈依赖于材料原子间的键合、晶 体结构和电子能量结构与状态。
主要内容




电子的粒子性和波动性 金属的费密(Fermi)-索末菲(Sommerfel) 电 子理论 晶体能带理论基本知识概述 晶体能带理论应用举例
基本要求
建立固体能量结构的观念，包括的德布罗意波；
• 此方程在微观粒子运动领域的地位相当于牛顿定 律在经典的宏观力学中的地位。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。。
• 对于多个粒子的系统薛定谔方程过于复杂，甚至 不能够求解，我们一般讨论的是氢原子、类氢离 子、周期势场中电子的运动所满足的规律。
1.1.3 薛定谔方程
波函数——决定微观粒子在空间不同位置出现的几 率。
1.1.2 波函数、概率密度
1.物质波
h 波长 P 2.物质波的波函数
物质波
特例：一个自由粒子，不受力场作用，沿 x 轴运 动。有一确定能量 E，动量 P，其物质波为平面简谐波。
频率
E h
机械波
y( x ,t ) Ae
i 2 (t x / )
( x ,t ) 0 e
i 2 (t x / )
1.1.2 波函数、概率密度
( x ,t ) 0 e
( x ,t ) 0 e
0 为波函数的振幅。
3.波函数的统计意义
i 2 (t x / )
i 2 ( Et Px ) h
物质波表示粒子出现的概率。 1926 年Bron提出波函数 的物理意义：

金属电子状态认识的三个阶段
量子自由电子学说（即金属的费密-索末菲电子理论）。将
量子力学的理论引入对金属电子状态的认识。
该理论同意经典自由电子学说，认为价电子是完全自由的， 但量子自由电子学说认为自由电子的状态不服从麦克斯韦—
玻尔兹曼统计规律而是服从费密—狄拉克(Fermi-Dirac)的量
子统计规律。故该理论利用薛定谔方程求解自由电子的运动 波函数，计算自由电子的能量。
玻恩（坐者）
1.1.2 波函数、概率密度
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模 （振幅）的平方 |0|2 与该点邻近体积元 dV 的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 P
P | 0 | dV 0 dV
2 * 0

* 0
是 0 的共轭复数。
4.注意
①.粒子分布多的地方概率大，德波强度大。
第五章：材料的热性能 (6学时)
第六章：材料的弹性与滞弹性 (4学时)
成绩考核：
平时（考勤、作业、课堂提问）: 30%， 闭卷考试: 70%
绪论
教材
1. 田莳编著。材料物理性能，北京：北京航空航 天大学出版社，2001年8月。
绪论
参考书
(1). 《材料物理导论》,熊兆贤编著,科学出版社,2001年2月； (2)《材料物理导论》,杨尚林、张宇、桂太龙主编，哈尔滨工 业大学出版社，1999年3月； (3)《材料科学基础》,谢希文、过梅丽主编，北京航空航天大 学出版社， 1999年1月。 (4) 《材料物理性能》，王振廷、李长青著，哈尔滨工业大学 出版社，2011年7月。 (5) 《材料物理性能》，龙毅编，中南大学出版社，2009年6 月。
数量、平均自由程和平均运动速度。自由电子数量越多导电
性应当越好。但事实却是二、 三价金属的价电子虽然比一价 金属的多，但导电性反而比一价金属还差。
实测电导：Ag 6.2；Cu 5.9 V.S. Al 3.6 （基准同） 电子密度： ≈1.0 P.K. ≈3.0 不足的原因在于模型过于简单
金属电子状态认识的三个阶段
子学说基础上建立起来的，经过70多年的发展，成为
解决导电问题的较好的近似理论，是半导体材料和器
件发展的理论基础，在金属领域中可以半定量地解决
问题。
金属电子状态认识的三个阶段
经典的自由电子学说
认为：金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子 的束缚，在金属晶体中自由运动，称其为自由电子，服从麦 －玻统计规律。 按照经典自由电子理论，金属的导电性取决于自由电子的
次价力
分子键:
（分子间作用力， 即范德华力）
结合能：离子键百度文库共价键＞金属键＞氢键＞分子键
§1.1电子的粒子性和波动性
光的本性：
光同时具有波、粒二象性， 波动性：
p
h

波动性：表现在传播过程中 （干涉、衍射）
粒子性：表现在与物质相互作用中 （光电效应、康普顿效应、）
光子概念的提出
普郎克量子假设说明:光在发射和吸收时具有粒子性。
我们现在可以解释“为什么Al 等电子密度大的金属电导率却 要比一价金属低”这个问题了。
认识电子体系的状态
• 经典观点：各个电子具有相同的能量——能量按 自由度均分。 • 量子观点： p(k),E(k)，即不同动量的电子具有 不同的能量。
能量量子化 动量必然也量子化
半径相等，|k|值相等，能量相等 由内向外，能量逐渐升高； 费米能级以上无电子占据
Einsten提出了光量子(光子)概念。光的能量不象电 磁理论描述的那样分布在波振面上 ,而是分布在微粒上。
光子的能量：
h
光子具有“整体性”。一个光 子只能“整个地”被吸收或放 出。
电子究竟是什么
？
电子具有波粒二象性
1.1.1.微观粒子波粒二象性
德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960)
1. 一维自由粒子Schrodinger方程 2 4 2 P 2 对 x 求二阶偏导 2 2
x h i2 对 t 求一阶偏导 E t h 自由粒子动量与能量关系 P 2 2mEk
代入①式移项
① ②
2 8 2mEk 0 2 2 x h
1.1.3 薛定谔方程
1923年，德布罗意试图把粒子性和波动 性统一起来。1924年，在博士论文《关于
量子理论的研究》中提出德布罗意波,同时
提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。
法国物理学家，1929年诺贝 尔物理学奖获得者，波动力 学的创始人，量子力学的奠 基人之一。
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的 重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一 角”。
2
• 因为忽略掉电子和离子实之间的互作用，也就是 正电荷只是提供一个背景，可以认为V(r)=0。在 一维情况下，上面的方程可以方便求解。
d 2 2m E 2 0, 2 dx E 2 k 2 / 2m h 2 /(2m2 ) d 2 0, 2 dx 2 2 A cos x B sin x
另外，还存在以下问题：
（1）电阻率ρ应与温度T的平方根成正比，但实验结果 ρ与T成正比。 （2）实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许 多。 （3）金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值 的百分之一。 （4）金属导体、绝缘体、半导体导电性的巨大差异。 （5）不能解释超导现象的产生。 这些都说明这一理论还不完善。
《材料物理性能》
绪论
1. 电、光、热、磁、弹性和内耗性能的物理本质
2. 物理性能与材料成分、结构、工艺过程的关系 及变化规律的关系。 3. 物理性能相关的特殊材料。 4. 物理性能相关的测试技术与分析方法。
绪论
内容提要（32学时）
第一章：固体的能量结构和状态(4学时) 第二章：材料的电性能 (6学时) 第三章：材料的磁性能 (6 学时) 第四章：材料的光学性能 (6学时)
一维自由粒子Schrodinger方程
2 8 2mEk 0 2 2 x h 如果粒子在势能为Ep的势场中,则其总能量 为E=Ek+Ep=p2/2m+Ep。将此式代入上式，有
2 h2 ∂ ψ h - 2 Ψ 2 + E pψ = i 8π m ∂ x 2π
这就是一维粒子在势场中的一般Schrodinger方程
2 2
归一化条件： B 1/ L
由边界条件： (0) ( L) 0，知道A 0, B 0.

• λ必须受限制， λ=2L/正整数。 • 对于3维情况，ψ (r)=Ceik·r，这里k为平面波的 波矢量，k=2π /λ。 2 2 现在描述一个电子： p k, E k /(2m) 这是极为重要的一步，非常之 关键。对比经典自由电子模型， 这里发生了深刻的变化。
1.1.2 波函数、概率密度
②. | 0 | 为粒子在某点附近单位体积元中
2
出现的概率，称为概率密度：t 时刻在（x，y， z）处出现的概率。 ③.归一化条件
V | 0 | dV 1
2
| 0 | dxdydz 1
2
即粒子某时刻在整个空间出现的概率为1。
波函数
波恩对于波函数给出的解释：电子在某个小空间 中出现的概率为波函数模的平方。
德布罗意波
一个能量为E，动量为P的粒子，同时也具有波动性， 其波长由动量P决定，频率ν则由能量E确定:
德布罗 意波波 长
实物粒子既具有粒子性，又具有波 动性，是粒子性和波动性的统一。
电子波动性的证实——电子衍射实验
戴维逊-革末实验
戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电 子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给 以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P. 汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。
薛定谔方程；费米-狄拉克分布函数，禁带起因，
能带结构以及晶格振动，声子的概念等。
原子间的键合类型：
离子键：如NaCl，低温不导电， 高温离子导电。
主价力 （化学键力）
无机非金属
共价键：如金刚石、Si，纯晶体 在低温下电导率很小。 金属键：如Na，电导率高，延性好。 氢键：H2O
静电力 诱导力 色散力 有机物、高 分子
二维情形-等能线 总电流为零（电流是 电荷的定向运动）
注意这是加电场之前
自由电子按能级占据
1.1.3 薛定谔方程
2.定态Schrodinger方程
定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐标 x 的函数， 与时间 t 无关，且系统能量 E 是与 t 无关的常量，系统 为定态。
则定态Schrodinger方程
2 2
Ek E EP E Ek E P ， 2 2 8 mEk 0 由 2 2 x h
(Drude)和洛伦兹(Lorentz) 。

第二阶段是把量子力学的理论引入对金属电子状态的
认识，称之为量子自由电子学说，具体讲就是金属的费 密(Fermi) —索末菲(Sommerfel)的自由电子理论。
§1.2
金属的费密(Fermi)索末菲(Sommerfel)电子理论
第三个阶段就是能带理论。能带理论是在量子自由电
电子粒子性的证实——霍尔效应
霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受 洛仑兹力作用而引起的偏转。当带电粒子（电子或空 穴）被约束在固体材料中，这种偏转就导致在垂直电 流和磁场方向上产生正负电荷的聚积，从而形成附加 的横向电场，即霍尔电场。
1.1.2 波函数、概率密度
在量子力学中，为反映微观粒子的波粒二象性， 用波函数来描述它的运动状态。
电子围绕原子核运动在以前用玻尔轨道运动 作理解，而在从几率波的角度理解时，应该被解 释为：电子在原子核外对应的玻尔轨道附近出现 的几率大大大于其他空间部分。 整个空间的积分为1。
1.1.3. 薛定谔（Schrodinger）方程
——用以描述粒子状态及粒子在空 间的分布几率随时间变化的规律。
薛定谔方程
量子自由电子模型
—— Fermi-Sommerfel电子理论
• 独立电子近似使得N个电子的复杂问题转化为单 个电子问题。单电子的状态用波函数ψ (r)描述， 所满足的不含时的薛定谔方程为：
2 8 2m ( E EP ) 0 2 2 x h
2 V (r ) (r ) (r ) 2m
8 m ( E EP ) 0 2 2 x h
§1.2
金属的费密(Fermi)-索末菲 (Sommerfel)电子理论
对固体电子能量结构、状态及其导电机理的认识，
开始于对金属电子状态的认识。人们通常把这种认识大
致分为三个阶段。

最早是经典的自由电子学说，主要代表人物是德鲁特