光明市菜篮子工程问题研究

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5711
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63 5
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1010
5
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图3.1
菜市场
每天需求（100kg）
短缺损失（元/100kg）
1
75
10
2
60
8
3
80
5
4
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10
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10
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55
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5
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80
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图3.2
常年情况，Ａ、Ｂ、Ｃ三个收购点每天收购量分别为200、170和160（单位：100kg），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg）见表。设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/（100kg*100m）。为该市设计一个从各收购点至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短期损失最小。
单纯形法的基本思想是：从线性规划问题的标准型出发，首先求出一个基本可行解（称为初始基本可行解），然后按一定的方法迭代到另一个基本可行解，并使基本可行解所对应的目标函数值逐步增大。经过有限次迭代，当目标函数达到最大值或判定目标函数无最大值时，就停止迭代。
上述的迭代过程，可以用代数运算形式或表格形式来进行。代数运算形式比较繁琐，表格形式比较简练。但是，代数运算形式能详细的说明单纯形法的迭代过程。
3.2问题分析和模型建立
对于该问题，为了研究以及求解的方便，做出如下的基本假设和符号说明：
基本假设：
（1）只考虑运输费用和短缺费用，不考虑装卸等其他费用。
（2）假设运输的蔬菜路途中没有损耗。
（3）假设各市场蔬菜只来源于三个收购站，而无其他来源。
（4）假设各收购站供应蔬菜同质且单位运价相同。
（5）假设各收购站可以作为中转站。
1运输问题的线性规划模型
在生产实践和日常生活中，经常会遇到规划问题。所谓规划问题，简单地说，是指如何最合理的利用有限的资源（如资金、劳力、材料、机器、时间等），以便使产出的消耗最小，利润最大。如果利用数学方法来进行这种分析，这就是数学规划。当所建立的模型，都是线性代数方程时，这就是一个线性规划问题。这样的例子在管理和生产的实践中是很多的。
2.2.2狄克斯托算法
求解最短路问题的标号法是狄克斯托于1959年提出的，适用于各边上的权 >0的情况，它被公认是最有效的算法之一。
标号法是通过对图上各点进行标号来寻求最短路的方法。每个点的标号共分两种：一种叫临时标号，用T表示；一种叫永久标号，用P表示。T标号表示从始点到该点最短路的上界，根据到该点路线的不同它有可能变化。P标号表示从始点到该点的最短路权，它的值不再改变。标号过程分两步：
山东交通学院
题目：光明市菜篮子工程问题研究
院(系)别理学院
专业信息与计算科学
班级信息081
学号080111125
姓名王丽丽
指导教师张海燕
二○一二年六月
原 创 声 明
本人王丽丽郑重声明：所呈交的论文“光明市菜篮子工程问题研究”，是本人在导师张海燕的指导下开展研究工作所取得的成果。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明，本人完全意识到本声明的法律后果，尊重知识产权，并愿为此承担一切法律责任。
论文作者(签字)：
日期： 年月
摘要
光明市菜篮子工程问题研究了如何利用现有的交通运输条件制定出一套调运方案，使得预期的短缺损失以及运输费用最省。本文首先介绍了运输问题的线性规划模型，以及线性规划问题的解法，并且详细说明了单纯形法的基本思想以及计算步骤。然后介绍了什么是最短路问题，解决最短路问题的基本思路，狄克斯托算法。最后提出了光明市菜篮子工程问题，问题分析和模型建立，模型求解以及对结果的分析，最后对模型进行优化，提出了光明市菜篮子工程问题的改进方案。
所谓最短路问题就是寻找赋权图中两点间的最短路，或者说寻找连接这两点的边的总长度为最小的通路。
2.2最短路问题的解法
2.2.1最短路问题的基本思路
狄克斯托（Dijkstra）标号法是求解最短路问题的有效算法之一，他的基本思路是逐点求最短路。例如图2.1中，如果 ，是从 的最短路，那么由 点出发沿这条最短路到达中间的任何一点，也是从 点到达该任意点的最短路。否则的话在这两点之间还存在其他的最短路，那么 就不是从 到 的最短路，与原假设矛盾。因此，从起点开始逐点寻找到邻近点的最短路，直到将最短路延伸到指定的中点为止，就自然找到了从起点到中点的最短路。
单纯形法是运用迭代思想求解线性规划问题的一种方法。一般的线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程的个数，这时有不定的解，但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每个单纯形可以求得一组解，然后再判断该组解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。
光明市菜篮子工程问题就是一个运输问题。它研究的是在现有的交通条件下，如何制定出一套行之有效的调度安排，使得运输费用及短缺损失最少。在对问题进行一系列合理假设的基础上，得出该问题的数学模型。在求解问题的过程中，用到了上面提到的两种方法。通过对现有交通网络的分析，根据狄克斯托算法求出收购点到各菜市场的最短路径。因为使用单纯形法解决线性规划问题较为繁琐，本文借助Lingo软件来求解该问题。在对结果进行分析的基础上又对上述模型进行优化，从而得出光明市菜篮子工程的优化模型。
（5）以 为主元素进行迭代（即用高斯消去法或称为旋转运算），把 所对应的列向量
将 列中的 换为 ，得到新的单纯性表。重复（2）～（5），直到终止。
2最短路问题
2.1什么是最短路问题
最短路问题是网络分析中的一个基本问题，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其他的优化问题。
1.2.2单纯形法计算步骤
（1）找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯性表。
（2）检验各非基变量 的检验数是
则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。
（3）在 中，若有某个 对应 的系数列向量 ，则此问题是无界，停止计算。否则，转入下一步。
（4）根据 ，确定 为换入变量，按 规则计算
可确定 为换出变量，转入下一步。
当产销平衡（即 ）时，设 表示由产地 运往销地 的运量，则问题的数学模型为：求 使得
当产大于销（即 ）时，这一问题的数学模型为：求 ，使得
1.2线性规划问题的解法
1.2.1单纯形法的基本思想
单纯形法是用迭代法求解线性规划问题的一种方法。迭代法是一种计算方法，用这种方法可以产生一系列有次序的点，除初始点以外的每一个点，都是根据它前面的点计算出来的。
符号说明：
收购点A,B,C分别记作1，2，3；
菜市场1，2，…，8；
用x(i,j)代表从收购点i到菜市场j运送蔬菜的数量；
用b(j)代表菜市场j每天对蔬菜的需求量;
C(j)代表菜市场j的短缺损失；
d(i)代表收购点i每天的蔬菜收购量;
A(i,j)代表从收购点i到菜市场j的最短路程。
目标函数总费用Z来表示,总费用包括两部分: 蔬菜调运费P，各市场供给量小于需求量的短缺损失Q，即：Z=P+Q
第一步，修改T标号。假定 是新产生的P标点号，考察以 为始点的所有弧段 。如果 是P标号法，则对 点不再进行标号；如果 点是T标号点，则进行如下的修改
其中，方括号内的 代表 点旧的T标号值。
第二步，产生新的P标号点，其原则如下：在现有的T标号中将值最小者改为P标号。
重复以上步骤直到终点的T标号改为P标号为止。
Key words:Transportation problem，Linear programming,Simplex method,The shortest path problem
前言
从管理的角度来看，任何一个企业可供利用的资源（包括人力、物力和财力等）都是有限的。如何合理的利用和调配人力、物力，如何充分发挥现有资金和设备的能力，不断提高生产效率，使企业获得最大的效益；或者是在既定任务的条件下，如何统筹安排，尽量做到用最少的人力、物力和财力资源，去完成这一任务，这些都是企业的决策者和管理人员十分关心的问题。其实这是一个问题的两个方面，就是寻求在一定的条件下，使某个指标达到最优的问题。这也正是线性规划所要研究的问题。本文所要研究的就是线性规划问题的运输模型。
1.1运输问题的线性规划模型
运输问题是一类特殊的线性规划问题，在国民经济的各个领域中都存在运输问题。大至国家如何安排全国物资的调运工作，小至一个工厂如何把生产的产品运到各个销售点，都离不开运输的调度安排。那么如何利用现有的交通条件，以最低的运费安排计划，就是一个线性规划问题。
光明市菜篮子工程问题就是一个运输问题，研究如何利用现有的交通运输条件，使蔬菜由收购点分配到各菜市场的短缺损失以及调运费用最小。
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地 ， ，其产量分别为 ，另有n个销地 ，其销量分别为 。已知由产地 （ ）运往销地 的单位运价为 ，其数据如表1.1所示，问应如何调运，才能使总运费最省？
表1.1
单位运价
产地 . . . 产量
. . .
. . .
. . . . .
. . .
原料单价 . . .
3光明市菜篮子工程问题
Leabharlann Baidu3.1光明市菜篮子工程问题的提出
光明市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况分别在花市A、城乡路口B和下塘街C设三个收购点。清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场。该市道路情况、各路段距离（单位：100m）及各收购点、菜市场1..8的具体位置如图：
关键字：运输问题，线性规划，单纯形法，最短路问题
Abstract
Bright city vegetable basket project problem on how to use the existing traffic conditions to develop a scheduling scheme, the expected loss and shortage of transport cost the province.This paper introduces the linear programming model of transportation problem, and the solution of linear programming problem, and explains in detail the simplex method the basic idea and computational steps.Then describes what is the shortest path problem, to solve the shortest path problem of the basic ideas, Dix supporting algorithm.Finally, the bright city vegetable basket project problem, problem analysis and model building, model and the analysis of the results, and finally to optimize the model, put forward the bright city vegetable basket project of improvement scheme.
其中P= ；市场j的短缺量为 ；则Q= ，
所以目标函数为
约束条件为：
（1）从收购点i运送到菜市场j的蔬菜量小于等于收购点i的收购数量，即
（2）从收购点i运送到菜市场j的蔬菜量小于等于菜市场j的需求数量，即
（3）变量非负性限制 。
综合以上结论，得出该问题的模型如下：
3.3模型求解
为了解决该问题，首先利用狄克斯托算法求出三个收购点到各菜市场的最短路径A（i,j）,现在以求解收购点A到各菜市场的最短路径为例，说明如何利用狄克斯托算法具体的求解最短路问题。为了叙述方便，现把收购点A记为 ，菜市场1,2，…，8依次记为 。根据图3.1，
许多优化问题都可以描绘成图论中的最短路问题。所谓最短路问题就是寻找赋权图中两点间的最短路，或者说寻找连接这两点的边的总长度为最短的通路。最短路问题可以用线性规划的方法求解，但是算法很不经济。求解最短路问题的标号法是狄克斯托于1959年提出的，适用于各边上的权 >0的情况，它被公认是最有效的算法之一。但是对于 的情况，狄克斯托算法就失去了效用。