勾股定理在高维空间中的推广及其应用

勾股定理在高维空间中的推广及其应用

摘要：勾股定理在平面中的基本内容“在任意一个直角三角形中两直角边的平方和是与第三边平方相等”反之，“在一个三角形中如果满足两条边的平方和等于第三条边的平方那么该三角形为直角三角形”，由此可以推导出在三维空间中正方体每个面的对角线的平方和等于空间对角线的平方。工人建筑时墙角的测量、蚂蚁绕柱爬行最短路径等都应用到勾股定理，在三维空间中还有一个比较普遍的应用就是“一个直四面体的三个侧面的面积的平方和等于这个直四面体的底面面积的平方”。通过分析勾股定理在平面上的结构性质，推导出三维空间及n维空间的勾股定理，深入了解勾股定理的性质特征和勾股定理的应用。

关键词：勾股定理；n维空间；应用

Abstract：The basic content of "in the plane of the Pythagorean theorem in any right triangle in two right angle side of the square and is equal to the square and third side" and "in a triangle if the two sides of the square and is equal to the square of third edges of the triangle triangle shape, which can be deduced in the three-dimensional space of each surface cube diagonal and the diagonal of the square space is equal to the square. The workers, the corner of the building when measuring the ants crawling around the column of the shortest path are applied to the Pythagorean theorem in three-dimensional space and a common application is the "three sides of a straight tetrahedral area of the square is equal to the straight tetrahedral area of the bottom surface of the square". Through the analysis of structural properties in the plane of the Pythagorean theorem, Pythagorean theorem derived three-dimensional space and n-dimensional space, understand the application characteristics of the Pythagorean theorem and Pythagorean theorem.

Key words：The pythagorean theorem; n-dimensional; Spaceapplication

目录

摘要..................................................................................................................................... I Abstract ....................................................................................................................................... I 目录.................................................................................................................................... I I

1 研究背景及意义 (1)

2 研究方法 (1)

2.1 文献索引法 (2)

2.2 几何研究 (2)

2.3 数型结合 (2)

2.4 类比推理法 (3)

2.5 反证法 (3)

3 研究对象 (4)

4 研究内容 (4)

4.1 研究勾股定理在高维中的基本内容 (4)

4.1.1 勾股定理在二维空间中的基本内容 (4)

4.1.2 勾股定理在三维空间中的基本内容 (5)

5 勾股定理在高维中的推广证明 (5)

5.1 勾股定理在二维空间的推广证明 (5)

5.2 勾股定理在三维空间上的推广证明 (7)

6 勾股定理在高维空间中的应用 (9)

6.1 勾股定理在二维空间上的应用 (9)

6.2 勾股定理在三维空间上的应用 (10)

7 研究勾股定理在高维空间推广应注意的问题 (10)

8 总结 (11)

参考文献 (12)

致谢.................................................................................................. 错误！未定义书签。

1 研究背景及意义

勾股定理无论是在数学领域还是其他领域中都是占据着举重若轻的地位，从古至今有多少数学、物理豪杰为之痴迷。赵爽《周髀注》中的《勾股圆方图注》；欧几里得《原本》中他就写到了勾股定理；还有就是中国古代数学著作《九章算术》的第九章勾股术。这些都是前人对勾股定理的理解以及获得研究成果，现在数学家们都在对勾股定理进行更深入的研究。勾股定理是几何的基石，这就足以可以知道勾股定理在几何中的地位是不可撼动的。远古人们对宇宙中自然形成的规律的自然起点，那就是勾股定理，不管是在东方文明起源还是在西方文化起源过程中，都有许多形形色色的动人故事。在很久以前就有古人应用勾股定理测长度，二维空间中的勾股定理，是几何中的一颗灿烂无比的夜光明珠，照亮了我们探索前进的道路，而三维、四维、乃至n维空间勾股定理,是二维空间勾股定理的延伸和推广扩展，其运用更具有丰富的时空性和现实性。每个科学研究的领域以及每个学术都有各自的延展性和不足性，没有任何人的研究成果就是完美无瑕的，总有很多大大小小的不足。牛顿的万有引力，到后来才有人的推广完善；爱迪生的灯的发明，也是后来进行完善与推广；以及中国古时候的蔡伦造纸，刚开始的粗糙到现在的精美以及更多的用处。这些开始都有不足，都是后来人在不断地去发掘完善。学术是无尽的，知识是无边的，勾股定理的延伸推广这是一个任重而道远的任务。关于n维欧式空间上得广义勾股定理研究及证明，最基础的那就是平面的勾股定理的证明。我们本文主要研究探索的是勾股定理在三维空间上的推广应用，开始以勾股定理基础利用初等数学知识，其主要是用数学方法推理证明以计算机维辅助方法进行检查证明。

2 研究方法