测量误差的规律性及其表述

D
应注意，标准差没有负值。
方差和标准差可作为测量精度的评定参数
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误差理论
与数据处理
随机误差的表征参数（Ⅴ）
➢ 协方差（相关矩）和相关系数
随机误差δx与δy的协方差定义为
Dx,y Ex Exy Ey
相关系数为：
xy
Dx, y
x • y
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正态分布的统计直方图和经验分布曲线
误差理论
与数据处理
以△x为底,以 ni nx 为高坐标图中第i区间作矩
形，所得矩形的面积即为测量结果在该区间上的频率 (即相应频率的近似)。依次类推在各区间上作n出i 这n 样 的矩形,所有矩形的总合就称为统计直方图，由图中显 而易见,直方图的面积总和应为1。
连接各矩形上边中点而得一曲线,这是通过统计 实验得到的分布密度曲线，这一曲线称为经验分布曲 线.经验分布曲线给出了测量结果的概率分布,其相应 的纵坐标为概率密度。其某区段的面积即代表了相应 的概率.
误差理论
与数据处理
随机误差： 当对同一量值进行多次等精度 的重复测量时，得到一系列不同的测量值 (常称为测量列)，每个测量值都含有误差, 这些误差的出现又没有确定的规律，即前 一个误差出现后，不能预定下一个误差的 大小和方向，但就误差的总体而言，却具 有统计规律性。
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之，当δ点左移时这一概率减小；当δ点移向无穷
远处时这一概率为0，即 F 0
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误差理论
与数据处理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机误差的表征参数（Ⅰ）
在一般的数据处理中，随机误差的数字特征主
要使用数学期望E（δ）和方差D（δ）
数学期望
定义：
E f d
f 为 的分布密度函数
D1 2 n D1 D2 Dn 2 Dij
i j
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与数据处理
随机误差的表征参数（Ⅴ）
当随机误差 1, 2 , n相互独立时，和
的方差为
D1 2 n D1 D2 Dn
实际上更常使用标准差（或均方差）。按照定 义，标准差应为方差的正平方根，即
误差理论
与数据处理
随机误差的分布密度和分布函数
按分布函数定义，随机变量x的分布函数为
F Px
式中，Px 是作为随机变量的随机误差取值
小于δ的概率。
0 xδ
若随机误差取值在数轴上，
Px 表示随机误差落在δ点
左面的概率。当δ点右移时这一概率增大；当δ点
移向无穷远处时，这一概率为1，即 F 1 反
第二章 测量误差的规律性及其表述
误差理论
与数据处理
➢ 随机误差统计规律的表述 ➢ 正态分布随机误差的统计规律及其表述 ➢ 测量中非正态分布的随机误差 ➢ 系统误差的特征及其表述 ➢ 系统误差的检验方法 ➢ 各类误差间的关系
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随机误差的分布密度和分布函数
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正态分布的统计直方图和经验分布曲线
误差理论
与数据处理
对某一量X进行多次重复测量,由于随机误差因素的作 用,各次测量结果都不相同,这些结果按一定的规律分 布.
在直角坐标中,由横坐标给出 测量结果,将测量结果的取值 范围等分为适当数量(m)的 区间,每一区间间隔为△x.设 测量次数为n,计数测量结果 落入每一区间的数目 ni .
实践上取
1 n
n i 1
i
或然误差规定为满足下式的ρ值
f d 1
2
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2.2正态分布随机误差的统计规律及其表述
误差理论
与数据处理
正态分布的统计直方图和经验分布曲线 正态分布随机误差的分布函数和分布密
度 正态分布随机误差概率的计算 正态分布随机误差的表征参数 误差分布的正态性检验
数学期望是误差δ的分布中心，它反映了δ的
平均特征（或者数学期望说是δ所有可能取值
的平均值）
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误差理论
与数据处理
随机误差的表征参数（Ⅱ）
数学期望的性质： 常数c的数学期望为E（c）=c 随机误差δ乘以常数c，则有
随机误差 1,2,,n 之和的数学期望为EC CE
协方差或相关系数反映误差之间的线性相
关关系，这一相关关系影响到误差间的抵偿
性，这一情形将在第五章详细说明
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误差理论
与数据处理
随机误差的表征参数（Ⅵ）
➢ 实用中的其他一些参数
扩展不确定度：U=ks，式中，k为置信系数。
K值相应于一定的置信概率P。
E1 2 n E1 E2 En
相互独立的随机误差 1,2 之积的数学期望为
E1 •2 E1• E2
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与数据处理
随机误差的表征参数（Ⅲ）
方差和标准差
定义：
D
E
2
f
d
通常，随机误差的数学期望E（δ）=0，因 而有：
D
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与数据处理
随机误差的分布密度和分布函数
随机误差的来源：
➢ 测量装置方面的因素 零部件配合的不稳定 性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、 摩擦等。
➢ 环境方面的因素 温度的微小波动、湿度与 气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及 电磁场变化等
➢ 人员方面的因素 瞄准、读数的不稳定等。
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置信概率P为误差δ落入区间（-ks，+ks）的
概率，若δ超出该区间的概率为α，则有P=1α。
此外，平均误差θ与或然误差ρ在实践上也 有用。
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误差理论
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随机误差的表征参数（Ⅶ）
平均误差为测量误差绝对值的平均值，其期 望为：
f d
2
f
d
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误差理论
与数据处理
随机误差的表征参数（Ⅳ）
随机误差的方差是反映随机误差取值的分散程 度的，是误差随机波动性的表征参数。 方差的性质： 常数c的方差为D（C）=0； 随机误差δ乘以常数c的方差为 DC C2D 随机误差 1,2 ,,n 之和的方差为