函数的间断点

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函数间断点求法两个基本步骤
1、间断点（不连续点）的判断
在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起 看一下教材上间断点的定义：
2、间断点类型的判断 找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限 情况来划分： （1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种： ①可去间断点：左右极限存在且相等； ②跳跃间断点：左右极限存在但不相等． （2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的， 有以下两种形式的第二类间断点： ①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．
f (x)
lim 0 0
x1
；
f (1)
0
所以 x 1是连续点．
.
③
y
1，
x 1
y
2
1
x 1，x 1
④
y
x，
x 1
y
2
1
1
1
x
在 x 1间断， x 1极限为 2．
x 1左极限为 2，右极限为 1．
⑤
y 1 x 1
y
1
1
x
在 x 1间断，
⑥
y sin 1 x
1
x
在 x 0 间断， x 0 极限不存在．
在 x 1 间断 ，lim 1 。 x1 x 1
x 1 , x 0, 3、 f (x) x 1 , x 0.
分析： x 0是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右
极限．
lim f (x) lim (x 1) 1 lim f (x) lim (x 1) 1
解：因为 x0
x0
； x0
x0
.
.
所以 x 0是第一类跳跃间断点．
a
所以 a b 1时， f (x) 在 x 0处连续．
例 2 求下列函数的间断点并进行分类
f (x) x2 1
1、
x 1
分析：函数在 x 1处没有定义，所以考察该点的极限．
x2 1
解：因为
lim
x1
x 1
lim (x
x1
1)
2
，但
f
(x)
在
x
1处没有定义
所以 x 1是第一类可去间断点．
x 1
f
(x)
源自文库
0
1
0
, 1 x 1 , x 1 , x 1 , x 1.
lim f (x) lim 0 0 lim f (x) lim (x 1) 2
解：因为 x1
x1
； x1
x1
.
.
所以 x 1是第一类跳跃间断点
lim
因为 x1
f (x)
lim (x 1)
x1
0 lim
； x1
像②③④这样在 x0 点左右极限都存在
的间断，称为第一类间断，其中极限存在的 ②③称作第一类间断的可补间断，此时只要
令 y1 2 ，则在 x 1函数就变成连续的
了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断， 而⑥称作震荡间断．
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果 x0 是函数 f x 的间断点，但左极限
则函数 f x 在点 x0 为不连续，而点 x0 称为函数 f x 的不连续点或间断点．
下面我们来观察下述几个函数的曲线在 x 1点的情况，给出间断点的分类：
① y x 1 y
2 1
② y x2 1 x 1
y
2 1
1
1
x
在 x 1连续．
1
1
x
在 x 1间断， x 1极限为 2．
x 1，x 1
lim x 1 当 x 0 时，因 x0 sin x ，故 x 0 是可去间断点．
当
x
k (k
1,2,)
时，因
lim
x k
x sin
x
，故
x
k (k
1,2,)
是无穷
间断点．
小结与思考：
本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．
1、求
f
(x)
lim
n
1 x 1 x2n
分析：通过极限运算，得到一个关于 x 的函数，找出分段点，判断．
一、函数的间断点
设函数 f x 在点 x0 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数 f x 有下列三种
情形之一：
1．在 x x0 没有定义；
2．虽在 x
x0
有定义，但
lim
x x0
f
x
不存在；
.
.
3．虽在 x
x0
有定义，且
lim
x x0
f x存在，但 lim xx0
f x
f x0 ；
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
2、
1 , x 0.
分析： x 0是分段函数的分段点，考察该点的极限．
解：因为
lim
x0
x sin
1 x
0
，而
f
(0)
1
所以 x 0是第一类可去间断点．
总结：只要改变或重新定义
f
(
x)
在
x
0
处的值，使它等于
lim
x x0
f
(x)
，就可使函数在可去间
断点 x0 处连续．
.
.
f x0 0 及右极限 f x0 0 都存在，那么 x0 称为函数 f x 的第一类间断点．不是第一类
间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去 间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．
sin x
x
f (x) a
.
.
②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．
▪间断点： 是 f(x)的间断点，f(x)在 点处的左右极限都存在为第一类间断点.
f(x)
至少有一个不存在，则 是 f(x)的第二类间断点.
第一类间断点中 第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.
下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：
函数的间断点
1
lim f (x) lim e x
解：因为 x0
x0
所以 x 0是第二类无穷间断点
f (x) sin 1
6、
x
lim f (x) lim sin 1
解： x0
x0 x
极限不存在
所以 x 0是第二类振荡间断点
f (x) x
7、求
sin x 的间断点，并将其分类．
解：间断点： x k (k 0,1,2,)
,x 0 ,x 0
x
sin
1
b
,x 0
例 1 确定 a、b 使
x
在 x 0处连续．
解：
f
(x)
在
x
0 处连续
lim
x0
f (x)
lim x0
f (x)
f (0)
lim
因为 x0
f (x)
lim x sin x0
1 x
b
b lim
； x0
f (x)
lim
x0
sin x x
1
；
f (0)
f (x) arctan1
4、
x
分析：函数在 x 0处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．
1
1
lim f (x) lim arctan lim f (x) lim arctan
解：因为 x0
x0
x 2 ； x0
x0
x2
所以 x 0是第一类跳跃间断点．
1
5、 f ( x) e x