离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

问题：X(z)，X(ejw) 都是连续的，利用计算机处理有困难，例如使用 Matlab，因此
提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题； 必须截断序列，得到有限个点的序列。
目标：我们需要得到一个可进行数值计算的变换 方法：
（1）DTFT - 频域中原始信号频谱的周期拓展 （2）对 DTFT 在频域中采样 -- DFS （3）将 DFS 推广到有限持续时间序列 DFT
为了避免时间上的混迭：
（1）必须是时间限制（有限时宽）
x%(n),0 n N 1
x(n)
0,
其它
（2）取样频率间隔小于
0

2
N
或
0

2
NT1
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23
DFS 定义：几点说明
频率分量
如果变量 n nT1 , k k0
DFS 可表示为：
xa (t)
1
2

X a ()e jtd

xa(t) 为时域连续信号
Xa(Ω) 为频域连续信号
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2
3.1 问题的提出：离散信号的变换
离散信号在两种变换域中的表示方法
（1）离散时间傅里叶变换 DTFT -- 提供了绝对可加的离散时间序列 在频域（ω）中的表示方法。
DFS 定义：正变换

为了推导
x%(nT1 )
DFS

X%(k0 )
的关系，作下列变量代换：
时域： nT1 n
频域：k0 k ?
则得：
~x(n)
X~(k)
DFS
n
01
N
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01
N
k
14
DFS 定义：正变换
周期离散序列的 Z 变换存在（收敛）的问题 因为周期离散序列，
x(n)
X ej
0 12
n N 1
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0
2
16
DFS 定义：正变换
频域取样
X(ejω) 是连续变量 ω 的周期函数，周期为2π。把ω 离散化，即 在0～2π区间内等间隔取 N 个点，取样间隔为 2π/N。
另一个角度看， X(ejω) 是 Z 平面单位圆上的 Z 变换。连续变量 ω 的离散化也可以认为是把单位圆分 N 等分，每分为 2π/N 。
X (e jT
)e jnT d
T
2 T
取样定理
X%(e jT )

x(nT )e jnT
n

1 T

X ( 0 )
n
时域的离散化造成频域的周期延拓
时域的非周期对应于频域的连续
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8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)
X~(k0
)

N1 ~x (nT1 )e
2 j(
N
)kn
n0
~x (nT1 )

1 N
N
1
X~
(
2k
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5
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （2）
1. 连续信号（非周期）的付氏变换
x(t)
X ()
t

x(t) X (),
t
x(t) 1 X ()e jt d
2
X () x(t)e jt dt
时域连续函数造成频域是非周期的谱 时域的非周期造成频域是连续的谱
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12
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0


0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N

X (e jw ) x(n)e jnw n
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。

X (z) x(n)zn n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
（DFT 避免了前面提到的那两个问题，并且它是计算机可实现 的变换方式。）
DFT 已成为 DSP 算法中的核心变换，原因：
（1）有限长序列傅里叶变换的重要方法 （2）有快速算法
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4
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （1）
时间函数
频率函数
非周期连续时间—傅里叶变换(FT)－连续频率 周期连续时间—傅里叶级数(FS)－离散频率 非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)－连续频率 周期离散时间—离散傅里叶级数(DFS)－离散频率
离散傅里 离散(T) 叶级数 周期(T0)
周期(Ωs=2π/T) 离散(Ω0=2π/T0)
DFS
离散时间函数的取样间隔：T1，取样频率：fs

s
2
1
T1
离散频率函数的取样间隔：F0，时间周期：T0
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1 F0

2
0
10
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (7)
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~x (t )
X (n 0 )
t T
时域周期频域离散

0

2 T
~

x (t) X(n0 )ejn0t
n-
1
X (n0 ) T
T 2 x%(t )e jn0t dt
e W 1W k0
N 1 k(rm)
N k0
(rm)N N
(rm) N
1 e j2 (rm)

j 2 (r m)
1 e N
0
N 1
W -kr N k 0
WNkm

N

0
rm rm
其中:
WN
j 2
e N
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13

n
k
-N
0
N
-N
0
N
时域中函数的取样和频域中函数的取样
3.2 DFS 及其性质
由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频 域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延 拓。
因此可以设想，如果同时对频域和时域取样，其 结果是时域和频域的波形都变成离散、周期性的 波形，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得 到它们之间的离散付氏级数 DFS 关系。

N 1
j 2 nk
x%(n)e N
n0
一个域的离散造成另一个域的周期延拓
离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周期的
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9
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数
傅里叶 连续 变换 FT 非周期
xa(t)
0
Tm
~x (t)
-T1
0
x(n) = xa(nT)
Tm T1
0T
Tm
~x(n) ~x(nT)
(a) FT
t
(c) FS
t
(b) DTFT
n
-Ωs
(d) DFS
Xa(Ω)
-Ωm
Ωm
1Xa(kΩ1)
-Ωm Ω1Ωm
X~ ()
1/T
-Ωm
1/T
Ωm Ωs
X~(k) X~(k1)

4. 周期离散时间信号：离散傅里叶级数 DFS
x%(nT1 )
n
周期 T
T1
取样间隔
X%(k0 )
2
T1
k
2 0 T
时域周期、离散频域周期、离散
T
N
T1

T=NT1
2 2
0
T
NT1
2
N 0T1
x%(n)
1
N
1
X%(k
)e
j
2
N
nk
N k0
X%(k )
1
N
1
X%(k
)e
j
(
2 N
)km
N k0
变量m替换为n，得
x%(n)
1 N
N
1
X%(
k
)e
j
(
2
N
) kn
k0

1 N
N 1
X%(k )WN kn
k0
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DFS 定义：反变换
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系


N 1
X%(k ) x%(n)WN kn
n0


x%(n)

1 N
N 1
X%(k )WN kn
k0
其中
j 2
WN e N
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DFS 定义：几点说明
在什么条件下不产生混迭失真？
X%(k )

X (e j
)
|


2
k
N
—频率取样
频率取样：若时间信号有限长，当满足下列条件时，X(ejω) 的样本值 X(k) 能不失真的恢复成原信号。
1
X%(k
)e
j(
2 N
)km

N 1 N 1
j( 2 )k(mn)
x%(n)e N
k0
k0 n0
N1
N 1 j( 2 )k(mn)
x%(n) e N
n0
k0

用正交条件： N 1 j( 2 )k(mn) N
eN
k0


0
nm nm
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DFS 定义：反变换
N
1
X%(k
)e
j(
2 N
)km

x%(n)N Nx%(m), m 0,1,L , N 1
k0
nm
（只有 m=n 时，才有值，而 m 不等于 n 时，为零，因此，x(n) 只取 x(m) ）
即
x%(m)
x%(n) x%(n Nm), m为整数
而对于周期信号，严格数学意义上讲，其 Z 变换不收敛，
因为：

X%(z)
x%(n)z n
而对于
n

x%(n) zn
n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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DFS：
X%(k
)

N
1

x%(n)e
j(
2 N
) kn
N 1
x%(n)WN kn
来自百度文库n0
n0
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DFS 定义：反变换
反变换IDFS
e 正变换两端乘以
j 2 km N
，m=0,1,…,N-1
然后令 k=0，1，…，N-1 求和，得：
N
傅里叶 级数 FS
连续 周期(T0)
离散时间 离散(T) 傅里叶变 非周期 换DTFT
非周期 连续
非周期 离散(Ω0=2π/T0)
周期(Ωs=2π/T) 连续
结论：
① 时域中函数取样(离散) （映射） 频域中函数周期重复；
② 频域中函数取样 （映射） 时 域中函数周期重复；
③ 取样间隔 （映射） 周期（2π/间隔）
T 2
时域连续函数造成频域是非周期的谱。
频域的离散对应时域是周期函数。
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3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （4）
3. 非周期离散信号：离散时间傅里叶变换 DTFT
x(nT)
X (e jT )
T
时域离散频域周期
x(nT ) T
2

T
其中：
2 称为频域中的取样间隔，
N 也称为频率分辨率。
2 k
N
Im
2
1
N
Re
Z平面
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DFS 定义：正变换
N 1
X (z) |ze j X (e j ) x(n)e jn n0
X
(e
j
)
|


2
k

j 2 k
X (e N )

x%(n)e
j( 2 N
)(k N )n

N 1

x%(n)e
j( 2 N
e )kn
j 2 n
n0
n0

N 1
j( 2
x%(n)e N
)kn

X%(k )
随 k 周期变化， 仅有 0，1，…， N-1 个独立值。
n0
所以
仅有 0，1，…，N-1 个独立值。
X%(k ) 也仅有 0，1，…，N-1 个独立值,周期为 N。
第三章 DFT——离散付氏变换
• DFS 和 DFT 的导出 • DFS 和 DFT 的性质 • Z 变换与 DFS 的关系 • FFT • IDFT • 频谱分析
3.1 问题的提出：连续信号的傅里叶变换
连续信号 xa(t)，其傅里叶变换为：

Xa () xa (t )e jtdt
@X%(k )
N
则
X%(k )

N 1
jn( 2
x%(n)e N
k)

N 1
j 2
x%(n)e N
kn
n0
n0
N 1
x%(n)WN kn n0
其中
j 2
WN e N
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DFS 定义：正变换
因为
X%(k

N
)

N 1
15
DFS 定义：正变换
X (z) x(n)z n N 1 ~x (n)z n
n
n0
（取 x%(n的) 一个主周期进行 Z 变换）
其频谱：（ω 是连续变量，需要对其离散化）
X (z) |ze j X (e j ) N 1 ~x (n)e jn n0