初二数学经典难题及答案
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A
P
C
D
B
初二数学经典题型
1.已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150.求证:△PBC 是正三角形. 证明如下。
首先,PA=PD ,∠PAD=∠PDA=(180°-150°)÷2=15°,∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ , 连接PQ , 则
∠PDQ=60°+15°=75°,同样∠PAQ=75°,又AQ=DQ,,PA=PD ,所以△PAQ ≌△PDQ , 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,在△PQA 中, ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ,于是PQ=AQ=AB , 显然△PAQ ≌△PAB ,得∠PBA=∠PQA=30°,
PB=PQ=AB=BC ,∠PBC=90°-30°=60°,所以△ABC 是正三角形。 2.已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是
中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.
又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.
3、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
证明:分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线,垂足分别为M 、O 、N , 在梯形MEFN 中,WE 平行NF 因为P 为EF 中点,PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线, 所以PQ =(ME +NF )/2
又因为,角0CB +角OBC =90°=角NBF +角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B =角Rt =角BNF CB=BF
所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC (同理) 所以EM =AO ,0B =NF 所以PQ=AB/2.
4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA .求证:∠PAB =∠PCB .
过点P 作DA 的平行线,过点A 作DP 的平行线,两者相交于点E ;连接BE
因为DP//AE ,AD//PE
所以,四边形AEPD 为平行四边形 所以,∠PDA=∠AEP 已知,∠
PDA=∠PBA 所以,∠PBA=∠AEP
所以,A、E、B、P四点共圆
所以,∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形,所以:PE//AD,且PE=AD
而,四边形ABCD为平行四边形,所以:AD//BC,且AD=BC
所以,PE//BC,且PE=BC
即,四边形EBCP也是平行四边形
所以,∠PEB=∠PCB
所以,∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长.
解:将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP=CQ,BP=BQ,∠ABP=∠CBQ,∠BPA=∠BQC
所以∠CBA=90°,所以∠ABP+∠CBP=90°,所以∠CBQ
90°
即∠PBQ=90°,所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ=√2*BP,∠BQP=45
因为PA=a,PB=2a,PC=3a
所以PQ=2√2a,CQ=a,所以CP^2=9a^2,PQ^2+CQ^2=8a^2+a^2
=9a^2
所以CP^2=PQ^2+CQ^2,所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA =90° 所以∠BQC =90°+45°=135°,所以∠BPA =∠BQC =135° 作BM ⊥PQ
则△BPM 是等腰直角三角形
所以PM =BM =PB/√2=2a/√2=√2a 所以根据勾股定理得: AB^2=AM^2+BM^2 =(√2a +a)^2+(√2a)^2 =[5+2√2]a^2
所以AB =[√(5+2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
解:设小水管进水速度为x ,则大水管进水速度为4x 。
由题意得:
t x v
x v =+82 解之得:t v
x 85=
经检验得:t
v
x 85=是原方程解。
∴小口径水管速度为t v 85,大口径水管速度为t
v
25。
7.如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M (-2,
1)
,且P (1,-2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B .
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△OBQ 与△OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图12,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ,求平行四边形OPCQ 周长的最小值.
y kx =,将点M (
-12
,所以正比例函数解析式为1
2y x 同样可得,反比例函数解析式为2
y x
)当点Q 在直线 设点Q 的坐标为1()2
Q m m ,, 于是2
1
11
12
22
4
OBQ S OB BQ m m m △, 而1
(1)(2)12OAP
S △, 所以有,21
14
m ,解得2m =±
所以点Q 的坐标为1(21)Q ,
和2(21)Q , (3)因为四边形OPCQ 是平行四边形,所以OP =CQ ,OQ =PC , 而点P (1-,2-)是定点,所以OP 的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值.
因为点Q 在第一象限中双曲线上,所以可设点Q 的坐标为2()Q n n
,, 由勾股定理可得2222
42()4OQ n n
n n
,
所以当2
2()0n
n
即20n
n
时,2OQ 有最小值4,
图A
O P
图