线性变换 习题答案

第七章 线性变换

3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明：

-=A B BA =E ．

『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有

()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B

(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ，

于是-=A B BA =E ．

4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明：

1

,1k k

k k k --=>A B BA

A

．

『解题提示』利用数学归纳法进行证明．

证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得

22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ，

因此结论成立．

假设当k s =时结论成立，即1

s

s

s s --=A B BA

A

．那么，当1k s =+时，有

1

1

()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A

B BA

A A

B BA A B BA A A A A ，

即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0

=A

E 可知，结论对1k =也成立．

5．证明：可逆映射是双射．

『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．

证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1

-A 作用左右两边，得到1

1

()()--===ααββA

A A

A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在

1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射．

『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．

6．设12,,,n L εεε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当

12,,,n L εεεA A A 线性无关．

证法1 若A 是可逆的线性变换，设1122n n k k k +++=0L A A A εεε，即

1122()n n k k k +++=0L A εεε．

而根据上一题结论可知A 是单射，故必有1122n n k k k +++=0L εεε，又由于12,,,n L εεε是线性无关的，因此120n k k k ====L ．从而12,,,n L εεεA A A 线性无关．

反之，若12,,,n L εεεA A A 是线性无关的，那么12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B ，使得()i i =B A εε，1,2,,i n =L ．显然

()i i =BA εε，()i i =A B A A εε，1,2,,i n =L ．

再根据教材中的定理1知，==A B BA E ．所以A 是可逆的．

证法2 设A 在基12,,,n L εεε下的矩阵为A ，即

121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==L L L A A A A εεεεεεεεεA ．

由教材中的定理2可知，A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆．

因此，如果A 是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n L εεεA A A 是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,,,n L εεε到

12,,,n L εεεA A A 的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以A 是可逆的线性变换．

『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆．

9．设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为

11

121321

222331

32

33a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

A ． 1）求A 在基321,,εεε下的矩阵；

2）求A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠；

3）求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵．

『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．

解 1）由于

3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε．

故A 在基321,,εεε下的矩阵为

333231123

222113

12

11a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

B ． 2）由于

11112123131112123131

a a a a a k a k =++=++A εεεεεεε，

2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε，

31312323331312323331

a a a a a k a k

=++=++A εεεεεεε．

故A 在基123,,k εεε下的矩阵为

111213221

222331

32

3311

a ka a a a a k k a ka a ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

B ． 3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为

100110001⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

X ，

故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为

1

11

12

131112

12

13321

222321112212

2212

231331

32

33313232

33100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪

⎪

==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

B ．