线性空间与线性变换习题解析(课堂PPT)

在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间
的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心
的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义
上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限
维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
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六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, ···, n及1, 2, ···, n是n维线性空间Vn的
A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即
T(A)={ =T() | A }.
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广.
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定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足:
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称
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七、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, ···, n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基1, 2, ···, n 下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
则有坐标变换公式:
x1 x2
=
P
x1 x2
'',
xn xn'
或
x1 x2
''
=
P 1
x1 x2
.
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换
公式, 则两个基满足基变换公式:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
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八、线性变换的概念
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三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子 集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构 成一个线性空间, 则称L为V的子空间.
定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):
设, , , O V, 1, l, k R,
(1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: (+ )+ =+( + ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量 , 有+O= ;
3源自文库
(4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有+ =O , 记 =– ;
的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论.
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之 间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的 对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构;
结论2. 同构的线性空间之间具有等价性.
同构的意义:
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
间V的维数. 5
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向 量时, 就称V是无限维的.
= x11+x22+···+xnn , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素在基1, 2, ···, n 下的坐标, 并记作 = (x1, x2, ···, xn)T.
线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同. 6
在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标
第六章 习题课
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一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
若1, 2, ···, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, ···, n为线性空间Vn的一个基, 对 任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使
两个基, 且有
1 = p111 + p21 2 + + pn1 n
2 = p121
n = p1n1
+
+
p22 2 + + pn2 n
p2n 2 + + pnn n
称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P
在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ···, n到 基1, 2, ···, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.
则称T为从Vn到Um的线性变换. 一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性
空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
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九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T(). 2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则