线性空间与线性变换习题解析(课堂PPT)
合集下载
线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——1
量空间 . 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律．
( a n x n a 1 x a 0 ) ( b n x n b 1 x b 0 )
( a n b n ) x n ( a 1 b 1 ) x ( a 0 b 0 ) P[x]n
(a n x n a 1 x a 0 )
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x 1 , ,x n )T 0 , ,0
不构成线性空间． Sn对运算封.闭
但 1xo, 不满足第五条运算规律.
由于所定义线 的性 运,运 所 算算 以 S不 n不是 是 线性.空间
2020/5/18
课件
17
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
2020/5/18
课件
19
3 . 0 0 ; 1 ;0 0 .
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0 ,
1 . 0 1 0
素，则对任何 V，有
0 1 , 0 2 .
由于 01,02V, 所以 0 2 0 1 0 2 ,0 1 0 2 0 1 .
0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 .
2020/5/18
课件
18
2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0 , 0 .
设 ,, V ;, R
(1 ) ;
( 2 ) ;
(3)在 V 中存在 0,对 零 任 元 V 何 ,都 素有 0;
2020/5/18
课件
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
线性代数课件 第六章 线性空间与线性变换——第1节
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 上的向量空间（或线性空间）． 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) x1 , x2 ,⋯ , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x1 ,⋯, xn )T = (0,⋯ ,0) 不构成线性空间． 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算不是通常的实数间的加乘运算， 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 否满足八条线性运算规律． 正实数的全体， 例６ 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
线
性
代
数
第六章 线性空间与线性变换
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 问题．
最新-线性空间及线性变换-PPT文档资料
注意到dimkerB即为Bx=0的解空间的维数,它等于 m-r(B),于是有dimkerB|V=dimkerB∩V=dimkerB=mr(B),代入等式(I)有: dimW+(m-r(B))=m-r(AB). 移项即 得: dimW=r(B)-r(AB). □
例6.1.4 (中南大学,2019年)设P是一个数域,A是Pn×n 中一个矩阵,令F(A)={f(A)|f(x)∈P[x]}.证明:
(4) 任一空间是数乘变换的不变子空间.
(5) 设W是线性空间V的子空间且W L(1,2, ,r),
则W是A的不变子空间当且仅当 / Ai W,i=1,2,…,r.
(6) 设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多 项式f, V1是f(A)的不变子空间.
(7) 设/A和/B是线性变换且/A/B=/B/A, V 是/A的 特征子空间,则V 也是/B的不变子空间.
若这两个向量组都线性无关,则 L (1 ,2 , ,s ) L (1 ,2 , ,t)
的维数等于齐次方程组 x 1 1 x 2 2 x ss y 1 1 y 2 2 y tt 0
的解空间的维数.
证明:设W 1 1,2, ,s, W 21,2, ,t ,那么
若I,A,A2,…,Am线性相关,那么存在一组不全为零的 数k0,k1,…,km∈P,使得:
k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.
令h(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmxm,显然有h(A)=0且
(h (x) )m (m (x),) 这将与 m()是A的最小多项式矛盾.于
是I,A,A2,…,Am线性无关,那么I,A,A2,…,Am构成F(A)的
例6.1.4 (中南大学,2019年)设P是一个数域,A是Pn×n 中一个矩阵,令F(A)={f(A)|f(x)∈P[x]}.证明:
(4) 任一空间是数乘变换的不变子空间.
(5) 设W是线性空间V的子空间且W L(1,2, ,r),
则W是A的不变子空间当且仅当 / Ai W,i=1,2,…,r.
(6) 设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多 项式f, V1是f(A)的不变子空间.
(7) 设/A和/B是线性变换且/A/B=/B/A, V 是/A的 特征子空间,则V 也是/B的不变子空间.
若这两个向量组都线性无关,则 L (1 ,2 , ,s ) L (1 ,2 , ,t)
的维数等于齐次方程组 x 1 1 x 2 2 x ss y 1 1 y 2 2 y tt 0
的解空间的维数.
证明:设W 1 1,2, ,s, W 21,2, ,t ,那么
若I,A,A2,…,Am线性相关,那么存在一组不全为零的 数k0,k1,…,km∈P,使得:
k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.
令h(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmxm,显然有h(A)=0且
(h (x) )m (m (x),) 这将与 m()是A的最小多项式矛盾.于
是I,A,A2,…,Am线性无关,那么I,A,A2,…,Am构成F(A)的
矩阵分析课件chapter1线性空间和线性变换例题详解
矩阵是什么？矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为：Ax=f(x), 其中f(x)=x T Bx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
第一章：线性空间和线性变换1.线性空间集合与映射集合是现代数学的最重要的概念，但没有严格的定义。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素映射：为一个规则：S S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=(a),或：a a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
满射,单射,一一映射。
若S'和S相同，则称为变换。
若S'为数域，则称为函数。
线性空间的定义和性质定义1.1设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件(I)在V中定义一个加法运算，即当Vx,时，有惟一的∈yx，且加法运算满足下列性质+y∈V(1)结合律;+x+=++y)(z(z)yx(2)交换律;x+=yyx+(3)存在零元素0，使x+0=x；(4)存在负元素，即对任何一向量x V ,存在向量y，使x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有x+(-x) = 0(II)在V中定义数乘运算，即当x V, k K,有唯一的k x V, 且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律k(x+y)=k x+k y ;(6) 分配律（k+l）x= k x+l x ;(7) 结合律k(l x)=(k l ) x ;(8) 1 x = x则称V为数域K上的线性空间或向量空间。
线性变换习题课PPT课件
第1页/共46页
首页 上页 下页 返回 结束
即
( (1 ), (2 ), , (n )) (1 ,2 , ,n )A
A (aij )nn Pnn是 在基1 ,2 , ,n下的矩阵. 注 : A的第j列恰是向量 ( j )在基1 ,2 , ,n
下的坐标. 特别, 数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在
利用线性变换的矩阵A, 求出A的特征多项式
f () | E A |
在给定数域中的根,即为所求特征值.
对特征值λ,求出齐次线性方程组
( E A)X 0
的基础解系,以基础解系中解向量为坐标所得向量即为线性变换的属于特征值λ的 全部线性无关的特征向量. (注: 如果求矩阵A的特征向量,则基础解系中解向量即为 所求的全部线性无关的特征向量)
充分条件
若 (或A)在P内有n个不同的特征值,则 (或A)
可对角化. 3) 对角化的方法
因 可对角化 A可对角化(其中A是 在某
组基下的矩阵).
因此 对角化问题可转化为A对角化问题.
首页 上页 下页 返回 结束
11
第11页/共46页
对角化步骤:
(1) 计算A的特征多项式 | E A |,求出A的全 部特征值1 , 2 , , s ;
任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零
矩阵. 但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不
同的(彼此相似).
首页 上页 下页 返回 结束
2
第2页/共46页
2. 与 ( )的坐标关系式
设 在基1 , 2 , , n下的矩阵是A, 与 ( ) 在基1 , 2 , , n下的坐标分别是( x1 , x2 , , xn )和
4. 相似矩阵 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
线性代数课件_第六章_线性空间与线性变换——习题课
2021/1/3
线性代数
2021/1/3
(1)a b ab ba b a;
(2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc)
a (bc) a (b c);
(3)1 R , 1 a 1a a,
1是 R中的零元素;
(4) a
0,
1 a
0,即 1 a
R ,
同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的， 反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不 同基下的矩阵．
2021/1/3
线性代数
线性变换T的象空间T (V n)的维数, 称为线性变 换T的秩.
若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A). 若T的秩为r,则T的核 ST 的维数为n r.
2021/1/3
线性代数
线性代数
2021/1/3
线性代数
第六章 线性空间与线性变换
2021/1/3
线性代数
１ 线性空间的定义
设V 是一个非空集合, R为实数域.如果对于任
意两个元素 , V ,总有唯一的一个元素 V与 之对应, 称为与的和,记作 ;又对于任一 数 R与任一元素 V ,总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的积,记作 ;并且这 两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , R) :
2021/1/3
线性代数
(1) ; (2)( ) ( ); (3)在V中存在零元素0;对任何 V , 都有
0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
2021/1/3
线性代数
(5)1 ;
(6)( ) ();
(7)( ) ;
(8)( ) ,
2
,,
n
到基
1
线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——2
有
E11
1 0
0, 0
E12
0 0
1, 0
E21
0 1
0, 0
E
22
0 0
0 1
k1E11 k2E12 k3E21 k4E22 k1 k2, k3 k4
2019/11/18
课件
10
因此
k1E 1 1k2E 1 2k3E2 1k4E22 O 0 0
(a1b1,a2b2, ,anbn)T
(a1,a2, ,an)T(b1,b2, ,bn)T ( k a 1 ,k a 2 , ,k a n ) T k ( a 1 ,a 2 , ,a n ) T
2019/11/18
课件
15
上式表:在 明向量用坐标 ,它表们示的后运算 就归结为坐标,因的而运线算性V空 n的间讨论就 归结R为 n的讨.论
2019/11/18
课件
6
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2,,n是线性V空 n的间 一个 ,对基 于任一元 V素 n,总有且仅有一组有
数x1,x2,,xn,使
x 1 1 x 22 x n n ,
有序 x 1 ,x 2 , 数 ,x n 称 组 为 在 1 ,元 2 , ,素 n 这 基 下 ,并 的 记 坐 x 1 作 ,x 2 标 , ,x n T .
2019/11/18
课件
7
例在 1 线P 性 [x]4中 空 ,p11 间 ,p2x,p3x2,p4 x3,p5x4就是它. 的一个基
任一不 4次超 的过 多项式 pa4x4a3x3a2x2a1xa0
线性空间与线性变换(重要) ppt课件
0 ;
PPT课件
3
(4)对任何 R3, 存在负向量 R3,使 ( ) 0;
(5) ; (， R)
(6) ;
(7) .
(8) 1 ;
PPT课件
4
线性空间
对几何空间进行推广，通过抽 象出几何空间线性运算的本质；
在任意研究对象的集合上定义 具有线性运算的代数结构。
6
(1) ; (2) ;
(3) V中存在零元素 0,对 V ,都有 0 ;
(4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使 0;
(5) ;(， F)
(6) ;
(7) . (8) 1 ; 那么V 就称为数域 F上的线性空间．
PPT课件
5
定义１ 设 V 是一个非空集合，F 为一个数域．如果
对于任意两个元素 , V ，总有唯一的一个元
素 V与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 F 与任一元素 V，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，
记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:
PPT课件
定理: W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要 条件是
, W ,k F,有 k W .
注 V的子空间
V和零子空间是V的平凡子空间；
其它P子PT课空件 间称为V的真子空间.
15
生成子空间
设r1,r2,L ,r s V ,则
L(r1,r2,L ,r s ) {k1r1 k2r2 L ksr s | k1, k2,L , ks F}
8
Amn Bmn Cmn , Amn Dmn ,
易验证加法和数乘满足八条运算律.
Rmn是实数域上的线性空间.
注 (1)m 1,由行向量组构成的线性空间称为n维行向量空间R1n；
线性空间与线性变换ppt课件
第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续4）
设α1, α2 , ... ,αr为线性空间 V的一组 基,
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
T(1) a111 a212 ... an1n
T
(2 )
a121 a222
又对任意A=[a,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:
mn
A
aij Eij
i1 j 1
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，
dim Pm×n=m×n
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1)
例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。 向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。
c 2;
b
2c
1;
a b c 1 .
c 2;
b
5;
a 4 .
∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
设α1, α2 , ... ,αr为线性空间 V的一组 基,
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
T(1) a111 a212 ... an1n
T
(2 )
a121 a222
又对任意A=[a,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:
mn
A
aij Eij
i1 j 1
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，
dim Pm×n=m×n
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1)
例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。 向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。
c 2;
b
2c
1;
a b c 1 .
c 2;
b
5;
a 4 .
∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若1, 2, ···, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, ···, n为线性空间Vn的一个基, 对 任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使
则有坐标变换公式:
x1 x2
=
P
x1 x2
'',
xn xn'
或
x1 x2
''
=
P 1
x1 x2
.
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换
公式, 则两个基满足基变换公式:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
9
八、线性变换的概念
= x11+x22+···+xnn , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素在基1, 2, ···, n 下的坐标, 并记作 = (x1, x2, ···, xn)T.
线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同. 6
在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标
4
三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子 集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构 成一个线性空间, 则称L为V的子空间.
定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称
第六章 习题课
1
2
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
两个基, 且有
1 = p111 + p21 2 + + pn1 n
2 = p121
n = p1n1
+
+
p22 2 + + pn2 n
p2n 2 + + pnn n
称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P
在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ···, n到 基1, 2, ···, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):
设, , , O V, 1, l, k R,
(1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: (+ )+ =+( + ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量 , 有+O= ;
3
(4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有+ =O , 记 =– ;
A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即
T(A)={ =T() | A }.
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广.
10
定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足:
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
间V的维数. 5
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向 量时, 就称V是无限维的.
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
则称T为从Vn到Um的线性变换. 一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性
空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
11
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T(). 2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则
在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间
的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心
的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义
上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限
维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
7
六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, ···, n及1, 2, ···, n是n维线性空间Vn的
的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论.
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之 间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的 对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构;
结论2. 同构的线性空间之间具标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, ···, n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基1, 2, ···, n 下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, ···, n为线性空间Vn的一个基, 对 任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使
则有坐标变换公式:
x1 x2
=
P
x1 x2
'',
xn xn'
或
x1 x2
''
=
P 1
x1 x2
.
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换
公式, 则两个基满足基变换公式:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
9
八、线性变换的概念
= x11+x22+···+xnn , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素在基1, 2, ···, n 下的坐标, 并记作 = (x1, x2, ···, xn)T.
线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同. 6
在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标
4
三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子 集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构 成一个线性空间, 则称L为V的子空间.
定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称
第六章 习题课
1
2
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
两个基, 且有
1 = p111 + p21 2 + + pn1 n
2 = p121
n = p1n1
+
+
p22 2 + + pn2 n
p2n 2 + + pnn n
称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P
在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ···, n到 基1, 2, ···, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):
设, , , O V, 1, l, k R,
(1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: (+ )+ =+( + ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量 , 有+O= ;
3
(4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有+ =O , 记 =– ;
A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即
T(A)={ =T() | A }.
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广.
10
定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足:
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
间V的维数. 5
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向 量时, 就称V是无限维的.
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
则称T为从Vn到Um的线性变换. 一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性
空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
11
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T(). 2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则
在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间
的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心
的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义
上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限
维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
7
六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, ···, n及1, 2, ···, n是n维线性空间Vn的
的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论.
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之 间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的 对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构;
结论2. 同构的线性空间之间具标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, ···, n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基1, 2, ···, n 下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.