第二节 迭代法及其收敛性1

由条件1°，可知 {xk } [a, b] ，再由（2.4）得
xk x * g ( xk 1 ) g ( x*) L xk 1 x * Lk x0 x * .
因 0 L 1，故当 k 时序列 {xk } 收敛到 x *. 再证明估计式（2.5），由李普希兹条件有
10.3
局部收敛性与收敛阶 上面给出了迭代序列 {xk } 在区间 [a, b]上的收敛性，
通常称为全局收敛性. 定理的条件有时不易检验，实际应
用时通常只在不动点 x *的邻近考察其收敛性，即局部收 敛性. 定义7.2.1 设 ( x ) 有不动点 x * ，如果存在x * 的某个邻域
R : x x * ，对任意 x0 R ，迭代（2.2）产生的序列
xk p xk ( Lp 1 Lp 2 1) xk 1 xk 1 Lp xk 1 xk . 1 L 在上式中令 p 知 1 x * xk xk 1 xk . 1 L
由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差 xk 1 xk 足够小即可保证近似值 xk 具有足够精度. 对上述定理中的压缩性， 在使用时如果 g ( x) C1[a, b] 且对任意 x [a, b] 有
如此反复迭代计算
xk 1 g ( xk ) (k 0,1,).
（2.2）
g ( x )称为迭代函数.如果对任何 x0 [a, b] ，由（2.2）得到 的迭代序列 {xk }有极限
lim xk x * .
k
则称迭代方程(2.2)收敛，且x* g ( x*) 为g ( x ) 的不动点， 故称（2.2）为不动点迭代法. 上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式 方程（2.1）归结为一组显式的计算公式（2.2），就是说， 迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程. 方程 x g ( x)的求根问题在 xy平面上就是要确定曲 线 y ( x) 与直线 y x 的交点 P *. 对于 x *的某个近似值 x0 ，在曲线 y g ( x)上可确定 一点 P0 ，它以 x0为横坐标，而纵坐标则等于 g ( x0 ) x1.
{xk } R ，且收敛到 x * ，则称迭代法（2.2）局部收敛.
定理7.2.3
设 x *为 ( x ) 的不动点， ( x) 在x * 的某个邻
域连续，且 ( x*) 1，则迭代法（2.2）局部收敛.
证明
由连续函数的性质，存在 x *的某个邻域
R : x x * ，使对于任意 x R 成立
g ( x) L 1,
则由中值定理可知对 x, y [a, b] 有
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( )( x1 x2 ) L x1 x2 ,
（2.7）
(a, b).
表明定理中的压缩性条件可用（2.7）代替.
例7.2.3中，当 g ( x)

p1 y= (x) x1 y=x x
x0 y
p0 p1 x1 x0 x*

x x0 x*
p1

x
x1
10.2.2
不动点的存在性与迭代法的收敛性
首先考察 g ( x )在 [a, b]上不动点的存在唯一性. 定理1 设 g ( x) C[a, b]满足以下两个条件：
1° 映内性 对任意 x [a, b]有 a g ( x) b 2° 压缩性 存在正常数0 L 1 ,使对 x1 , x2 [a, b] 都有
x g ( x).
（2.1）
若要求 x *满足 f ( x*) 0 ，则 x* g ( x*) ；反之亦然， 称 x* 为函数 g ( x )的一个不动点. 求 f ( x)的零点就等价于求 ( x )的不动点，选择一个 初始近似值 x0 ，将它代入(2.1)右端，即可求得
x1 g ( x0 ).
的根 x * ，如果迭代误差 ek xk x *当 k 时成立下列 渐近关系式
ek 1 C p ek (常数C 0, p 1),
表7 2 k 0 1 2 3 4 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 k 5 6 7 8 xk 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
但若采用方程（2.3）的另一种等价形式
x x3 1
建立迭代公式
3 xk 1 xk 1.
再证唯一性.
x , x 设 1 2 [a, b] 都是 ( x ) 的不动点，则由(2.4)得
x1 x2 g ( x1 ) g ( x2 ) L x1 x2 x1 x2 .
引出矛盾. 故 g ( x ) 的不动点只能是唯一的. 证毕.
( x) L 1.
此外，对于任意 x R，总有 ( x) R，这是因为
( x) x * ( x) ( x*) L x x * x x *.
于是依据定理7.2.2可以断定迭代过程 xk 1 ( xk ) 对于任意
初值 x0 R 均收敛. 证毕.
3
x 1 时， g ( x)
1/ 3
1 ( x 1) 2 / 3,在 3
11 区间 [1,2]中， g ( x) 3 4
1 ，故（2.7）成立.
又因 1 3 2 g ( x) 3 3 2 ，故定理1中条件1°也成立. 所以迭代法是收敛的. 而当 g ( x) x 3 1时，g ( x) 3x 2 在区间 [1,2] 中 g ( x) 1 不满足定理条件.
注意
，从计算结果看到迭代法（1） 3 1.7320508
及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条 件，迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法
（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 g ( x*) 0.
定义7.2.2
设迭代过程 xk 1 g ( xk ) 收敛于方程 x g ( x)
g ( x)
1 3 (1 2 ), 2 x
g ( x*) ( 3 ) 0.
取 x0 2 ，对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表.
表7 3 k 0 1 2 3 xk x0 x1 x2 x3
计算结果 迭代法(1) 2 3 9 87 迭代法( 2) 2 1.5 2 1.5 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732361 迭代法( 4) 2 1.75 1.732143 1.732051
图1-2 过 P0 引平行 x轴的直线，设此直线交直线 y x于点 Q1， 然后过 Q1再作平行于 y 轴的直线，它与曲线 y ( x)的 ( x1 ) x 交点记作 P 1，则点 P 1的横坐标为 1，纵坐标则等于
x2 .
按图1-2中箭头所示的路径继续做下去，在曲线 y g ( x) 上得到点列 P ，其横坐标分别为依公式 xk 1 g ( xk ) 1, P 2 求得的迭代值 x1 , x2 . 如果点列 {Pk }趋向于点 P *，则相应的迭代值 xk 收敛 得到所求的根 x * .
g ( x) 2 x 1, g ( x*) g ( 3 ) 2 3 1 1.
(2) xk 1 3 3 , g ( x) , xk x
g ( x )
3 , g ( x*) 1. 2 x
1 2 1 2 (3) xk 1 xk ( xk 3), g ( x) x ( x 3), 4 4 1 3 g ( x) 1 x, g ( x*) 1 0.134 1. 2 2 1 3 1 3 (4) xk 1 ( xk ), g ( x) ( x ), 2 xk 2 x
定理.2
设
1中的两个条件，则 g ( x) C[a满足定理 , b]
对任意 x0 [a, b] ，由（2.2）得到的迭代序列 {xk }收敛到
g ( x ) 的不动点 x *，并有误差估计
证明
Lk xk x * x1 x0 . （2.5） 1 L 设 x* [a, b] 是 g ( x )在 [a, b] 上的唯一不动点，
g ( x1 ) g ( x2 ) L x1 x2 .
（2.4）
其中,L称为压缩系数，或称为李普希兹常数。 则函数g ( x)在[a, b]上存在唯一的不动点x.
证明 先证不动点存在性. 若 g (a) a或 g (b) b，显然 g ( x )在 [a, b]上存在 不动点. 因 a g ( x) b ，以下设 g (a) a 及 g (b) b ，定 义函数
例7.2.2
用不同方法求方程 x 2 3 0 的根 x* 3.
讨论迭代序列的收敛速度. 解 这里 f ( x) x 2 3，可改写为各种不同的等价形
式 x g ( x)，其不动点为 x* 3. 由此构造不同的迭代法：
2 (1) xk 1 xk xk 3, g ( x) x2 x 3,
例1 求方程
f ( x) x 3 x 1 0
（2.3）
在 x0 1.5附近的根 x * .
解 设将方程（2.3）改写成下列形式
x 3 x 1.
据此建立迭代公式
xk 1 3 xk 1
(k 0,1,2, ).
各步迭代的结果见表.
如果仅取6位数字，那么结果 x7与 x8完全相同，这时可 以认为 x7实际上已满足方程(2.3)，即为所求的根.
xk 1 xk g ( xk ) g ( xk 1 ) L xk xk 1 .
（2.6）
反复递推得
xk 1 xk Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p 有
xk p xk xk p xk p 1 xk p 1 xk p 2 xk 1 xk ( Lk p 1 Lk p 2 Lk ) x1 x0 Lk x1 x0 . 1 L
仍取迭代初值 x0 1.5，则有
x1 2.375, x2 12.39.
结果会越来越大，不可能趋于某个极限. 这种不收敛的迭 代过程称作是发散的. 一个发散的迭代过程，纵使进行了 千百次迭代，其结果也是毫无价值的.
y p1 p0
y=x y= (x)
y p0
y=x

x1 x2 x* y= (x) y=x x x0 y y=(x) p0 x*
数值计算方法
10.2
迭代法及其收敛性
对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精
确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一种逐次
逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之 逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。
1Fra Baidu bibliotek.2.1
不动点迭代法的基本概念和迭代格式的构造
将方程（1.1）改写成等价的形式
xk p x * 即得式（2.5）证毕. 在上式令 p ，注意到 lim p
迭代过程是个极限过程. 须按精度要求控制迭代次数.
在用迭代法实际计算时，必
误差估计式（2.5）原则上可用于确定迭代次数，但它 由于含有信息 L 而不便于实际应用.
根据式（2.6），对任意正整数 p 有
f ( x) g ( x) x.
显然 f ( x) C[a, b] ，且满足 f (a) g (a) a 0, f (b)
g (b) b 0 ，由连续函数性质可知存在 x* (a, b)使 f ( x*) 0 ，即 x* g ( x*), x *即为 g ( x )的不动点.