大学物理力矩做功+刚体定轴转动的动能定理-new

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有限体积刚体的重力势能
各质元重力势能的总和，就是刚体的重力势能。
Fra Baidu bibliotek
E p mi g hi g mi hi
i
mg
m h
i
i
Δmi C× hc hi Ep=0
i i
m
mghc
E p mghc
刚体的重力势能等于其质量集中在质心时 所具有的重力势能。
6
定轴转动刚体的功能定理
轴O
l,m B ω
18
例题 （杆+地球）系统，只 解： 有重力作功， E守恒。 A
·θ · l /4 C
(1)
(2)
轴O
l,m B
ω
1 l 2 J O mg sin 0 2 4
1 l 2 7 2 2 J O ml m( ) ml 12 4 48
6 g sin (1)、(2)解得： 2 7l
1 2 3mva 2 mva ( ml ma ) 2 2 3 m'l 3ma
16
例题
射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统，E =常量．
o
30

1 1 2 2 2 ( m l ma ) 2 3
o
a
m v
'
l o mga(1 cos 30 ) m g (1 cos 30 ) 2
12
例题 解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
13
例题 于是，在宽为dr的 圆环上，唱片所受的摩 擦力矩为
df
πR R 2 mg 2 r dr 2 R 2mg R 2 2 M r dr Rmg 2 0 R 3
2
力矩的功率
dW d 力矩的功率 P M M dt dt
P M
比较力做功的功率 P F v
3
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 2 2 mi ri i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2
l mg cos 4
Nl A l t
t
l l aCt 4 4 3 g cos

· a θC · N a θ
O
Cl Ct
l,m B
JO
(6)
mg

7 由(3)(4)(5)(6)解得：
4 13 N l mg sin , N t mg cos 7 7
21
例题
13 4 N mg sin el mg cos et 7 7
4
刚体定轴转动的动能定理 力矩的功
转动定律
1
W
2
1
2 d d Jd Md J 1 1 dt
W
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
——刚体绕定轴转动的动能定理
1 1 2 2 比较 W F dr mv2 mv1 2 2
下落h处势能为零
24
例题
1
1 2 1 2 1 2 mgh mv 1 J kh 下落h处势能为零 2 2 2 v1 1 J MR 2 R 2
v1
2
1 2 mgY kY 2
4mgh 2kh2 2m M 2mg Y为弹簧的最大伸长量 Y k
不要重复计算。
N
mg Nl β 2 N 153 sin 16 A 7
l
O θC
tg
1
| Nt | 1 4 tg ( ctg ) Nl 13
··
Nt
l,m
t
B ω
22
例题
例4 已知圆盘半径为R，质量为M，在垂直平面内
可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别 联接倔强系数为k的弹簧和质量为m的物体，设轮轴 光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托 住m使弹簧保持原长，然后静止释放。
v
机械能不守恒．
10
讨论
o
圆 锥 摆
'
圆锥摆系统
动量不守恒；
R
T
m
p
o
v
角动量守恒； 机械能守恒．
11
例题
例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 面的轴以角速率 ω作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转 盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱 动力矩做了多少功？
25
1 2 mv 注意：m 的动能 1 2
对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功
W外 W非保守内力 0
则刚体机械能守恒
Ek E p Const.
8
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
以子弹和沙袋为系统 动量守恒；
v
角动量守恒； 机械能不守恒 .
9
讨论
以子弹和杆为系统
子 弹 击 入 杆
o
动量不守恒；
角动量守恒；
求（1）m 下落 h 距离时的速度。
（2）弹簧的最大伸长量。
k R
M
m h
23
例题
解：取 m + M + 绳 + 弹簧 + 地球 为一系统
外力：轴承支承力和地面对弹簧的支持力。
内力：重力，弹性力为保守力 绳不伸长，张力功为零。 绳与轮间无相对滑动， 摩擦力功为零。
k
M R
m
h
系统机械能守恒
1
1 2 1 2 1 2 mgh mv 1 J kh 2 2 2
质点系功能原理对刚体仍成立：
W外 W非保守内力 Ek 2 E p 2 Ek1 E p1
若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时
1 2 1 2 平动动能 Ek mv J ..... 转动动能 2 2
都计算
E p 应包括系统中所有物体的势能
7
定轴转动刚体的机械能守恒定律
dM
mg
2
o
r
dl dr
rdr (2πr )
14
例题
M 4g （作匀加速转动） J 3R 3R 由 0 t 可求得 t 4g 2 ( 3) 由 2 0 2 可得在 0 到 t 2 3 R 的时间内，转过的角度为 8g 1 驱动力矩做的功为 W M mR 2 2 4
本节内容
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
1
力矩做功
dW F dr Ft ds Ft rd
v
d
Ft
F
dr
dW Md
力矩的功
2 1
o
比较
r
x
W Md
W F dr
2 2 v g (2 3 )(m l 2ma)(m l 3ma ) 6 ma
17
例题 例3 已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为
l，初始水平静止。轴光滑， AO l / 4 。
求： 杆下摆到 角时， 角速度 ? A
轴对杆作用力 N ?
·θ · l /4 C
19
例题 应用质心运动 定理求轴力： N mg maC Nl A
N
l
· a θC · N a
O
Cl t Ct θ
l,m
B
l ： mg sin N l ma Cl
t
mg (3) (4)


t ：mg cos N t ma Ct
20
例题
aCl
l 2 6 g sin (5) N 7 4
(2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2)
15
例题 例2 一长为 l , 质量为m o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 质量为m’、速率为v 的子弹射 a ' 入竿内距支点为a 处，使竿的 m o 偏转角为30 . 问子弹的初速 v 率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒