特级教师高考数学首轮复习第7讲-函数有界性

一、函数有界性知识结构

二、重点叙述

1. 函数有界性的概念

①定义:对于函数f(x),如果存在一个常数M,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≤M(或f(x)

对于函数f(x),如果存在一个常数m,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≥m(或f(x) >m),那么函数f(x)就叫做有界函数,m是函数f(x)的下界。

②函数有界与最值的关系:

有界函数不一定有最值;函数有最值,则函数一定有界。

函数有上界,无论f(x)≤M,还是f(x)0 ,使得f(x0 )=M,或f(x0 )=H

函数有下界,无论f(x)≥m,还是f(x) >m,若在定义域内不存在x0 ,使得f(x0 )=m,或f(x0 )=H>m,则函数就没有最小值。

如函数在(-∞,-1)内有下界,但没有最小值,在(-1,-∞)内有上界,但没有最大值。

2. 函数有界性的几何特征

在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,或夹在两直线y=M和y=m之间。

3. 函数有界性的判定方法与证明

①图象法:在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,

或夹在两直线y=M和y=m之间。

②定义法:

设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=M-g(x),或f(x)≤M-g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≤M。

设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=m+g(x),或f(x)≤m+g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≥m。

③最值法:转化为求函数最值。即

;

或。

4. 函数有界性的应用

①解题需要判断或证明函数的有界性。

如证明不等式f(x)g(x))恒成立,可利用函数的有界性设计“中介”M(或m),使f(x)m>g(x)),从而证得f(x)g(x))成立。

如,证明不等式。

②用于判断或证明关于不等式恒成立的问题。

设定义在A上的函数f(x),证明f(x)≤M,或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立。

三、案例分析

1. 案例1:（2008广东·14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程

有实根，则的取值范围是________．

【答案】。

分析：用直接法解之。∵，利用二次函数的有界性，把关于的方程有实根转化为含绝对值的不等式恒成立的问题解决。解：∵，

∴为何值时关于的方程有实根转化为求不等式

恒成立时实数的取值范围。

①当即，与矛盾；

②即，

∴当时，恒成立；

③即，与矛盾。

所以所求实数的取值范围是。

2. （2008湖北·理7）若在上是减函数，则b的取值范围是（）

A、B、C、D、

【答案】：C

分析：函数f(x)是超越初等函数，其单调性的研究须用导数方法，函数f(x)在区间[-1，+∞）

上是减函数，即函数在区间[-1，+∞）上恒成立，从而求得b的取值范围。

由于本题是选择题，可以用特殊值判断的方法取得答案。

解：∵，

∴函数在区间上是减函数，也就是在区间[-1，+∞）上恒成立。

在上恒成立，即在上恒成立，令，

∴当且仅当，或时在上恒成立。

即。

另解：（用特殊值判断法）∵，

令，则，∴函数在上是减函数。排除了B、D。

令，则，∴函数在上有增有减。排除了

A。

所以选C。

3.案例3：已知对任意成立，求实数的取值范围。

【答案】

分析：由于，所以不等式两边取对数, 可转化为对任意恒成立。设想存在实数M ，使得恒成立，从而转化为求函数的最大值M。

解：对不等式两边取对数, 得，由于，所以转化为

设存在实数M ，使得成立，显然M是函数的最大值。

设，则，令，得，

当时，，函数在上递增；

当时，，函数在上递减。

∴函数在处取得极大值，唯一的极大值即是最大值。

∴函数的最大值。

由。

所以实数的范围是。

4.案例4：用于判断或证明关于不等式恒成立的问题。

设定义在A上的函数f(x)，证明f(x)≤M，或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立。

案例（2008天津·21(3)）已知函数（），其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。

【答案】。

分析：对于任意的，不等式在上恒成立，转化为对于任意的，，于是间的不等关系，从而求得的取值范围。

解：求导得，

∵，∴，从而对任意的恒成立。∴当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增。

∴

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

，

即，在上恒成立，也就是。

∵，∴。

所以满足条件的的取值范围是。

另解：（以上相同）

∴

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

，或，即

，或，

∴。

5.案例5：设函数，其中常数。

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

【答案】(I)在区间和是递增函数,在区间是递减函数;(II)。分析：本题展现导数与函数的综合运用的问题，涉及利用导数讨论函数的单调性，第(Ⅰ)小题的关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第(Ⅱ)小问题是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件，从而求出a的取值范围。

解：（I），

由，得。

当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

当时，，故在区间是增函数。

综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。（II）∵当时，在区间和是递增函数，在区间是递减函数。

∴函数在处取得极大值，在处取得极小值。