第一章矢量分析与场论教学内容

Bx By Bz
B
性质：1、若 A×B = 0 则 A∥B
en
2、 A×A = 0
A
1.6 矢量的初等运算
矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)
A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C
A·B =B·A
; A·(B+C) = A·B+A·C
A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C
eA = A/A
eA A
A
1
坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。
（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） A
对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： er
直角： ex ey ez
ez
eθ
圆柱： eρ e ez
ey
球面： er eθ e
ex e
有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式：
A
=
1.2 标量与矢量
物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标
描述物理量的数学语言是标量和矢量
算数量：＞0 标量（A）：只有大小没有方向的物理量 代数量：≠0
不变量：A·B 矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。
标量与矢量
复数
1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢
单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。
(A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖
Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
若 B=C 则 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立
BC
若 A·B = A ·C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立
结论：等式两边可同时“点”和“叉”，
A
但不能随意消去相同的量
1.7 坐标变换
1、不同坐标系的变换
z
w
q ·Φv
例：Φ=1/√x2 + y2 + z2 = 1/√ρ2 + z2 = 1/ r q u O′ O
y
2、坐标平移
x
例：若电荷q位于坐标原点O，则电位Φ=kq /√x2 + y2 + z2
表示的是空间位置，没有物理含义。
源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。
场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。
源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：
源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er
场点：r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er
0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 圆柱 ,,z 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
-∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面
球面 r,,
0≤r ＜∞ 0≤ ≤
0≤ ≤2
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r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角
的圆锥面 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
z
（·x0 y0 z0）
z （0 0 z0）
·
O
xO
y x
x
· z
r （r0
0 0
）
O
y
三种正交系的相互关系 z
r·
（）
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) y cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
r
S′
R
r′
○
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。
解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A P(1,2,2) r
标乘 μA = μAxex + μAy ey +μ Azez
∧
乘 点乘 A·B = A·Bcos(A·B ) = AxBx + AyBy + Az Bz
性质：1、若 A·B = 0 则 A⊥B
2、 A·A = A2
ex ey ez
∧
叉乘 A×B = A·Bsin(A·B )en =
Ax Ay
Az
A×B
若将电荷q 置于坐标点 s′(x′y′z′)处,求电位Φ的表达式。
解：将坐标点 s′定义为新坐标系(u,v,w)的原点O′
则：Φ=kq /√u2 + v2 + w2 = kq /√(x-x′)2 + (y-y′)2 + (z-z′)2 x
3、坐标旋转 ∵坐标系是一钢架， ∴当某一轴替代另一轴时，
= A eA Axex +
Ay
ey
+
Az
ez
=
Aρ
eρ
+
Aφeφ
+
Az
ez=
Ar
eρ
er+Aφeφ+Aθeθ
常矢：大小和方向均不变的矢量。
矢量？场的不变性
变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。
r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er 矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式，
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算 矢量场的微、积分 梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
1.1 常用坐标系（正交系）
形式 坐标 取值范围
几何意义
直角 x,y,z
-∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面
○
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除
且以各矢量同在某一点为前提
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
加 减
A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez