线性规划(1)

班次
时间
所需最少人数 该时段当班人数
1 x1 6：00——10：00
60
2 x2 10：00——14：00
70
3 x3 14：00——18：00
60
4 x4 18：00——22：00
50
5 x5 22：00——2：00
20
6 x6 2：00——6：00
30
设xi为第 i 班次时开始上班的人数
Min Z = x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6
x1 +x6 x1 +x2
x2 +x3
x3 +x4 x4 +x5 x5 +x6
人力资源分配问题 s.t. x1+x6 ≥ 60，
x1+x2 ≥ 70，
x2+x3 ≥ 60，
x3+x4 ≥ 50，
x4+x5 ≥ 20，
x5+x6 ≥ 30
xi≥ 0且为整数
线性规划问题的一般模型
Max(min)Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
序号 食品
热量(kcal) 蛋白质(g) 钙（mg） 价格（元）
1 猪肉 x1 1000 2 鸡蛋 x2 800 3 大米 x3 900
4 白菜 x4 200
Hale Waihona Puke Baidu50
400
14
60
200
6
20
300
3
10
500
2
应如何选择才能在满足营养的前提下使购买 食品的总费用最小？
线性规划模型的三要素
• 一组变量 x1 , x2 , …… xn ：模型 需确定的未知量
序 食品 号
1 猪肉
x1 ， x2 ， …
热量 蛋白 钙 价格 (kcal) 质(g) （mg） （元）
1000 50 400 14
x4 ≥ 0
——营养问题
2 鸡蛋 800
60
200 6
3 大米 900
20
300 3
4 白菜 200
10
500
2
例2
• 一个连锁店公司正在计划明年的 广告预算，该公司计划用1000万 元在报纸、广播电台和电视上做 广告。下表是他们做规划用的统 计数据：
入以上的人口 • 在每种媒体上做的广告要在最
高和最低限制数之间
筹划：报纸？电台？电视？
——投资问题
注意事项
• 分析问题时,利用表格,条理清楚 • 问题要求确定什么量的值,就设什么量为
变量; 考虑变量是否应为整数 • 约束条件中,有≤ 、≥、或 = ，不要用错；
把所有的约束条件找完 • 目标函数：求最大或最小
︰ ︰
am1x1 + … + amnxn ≤ ( =, ≥) bm x1 ， … xn ≥ 0
max (min) Z CX
AX ( ) b

X

0
Max(min)Z = c1x1 + … + cnxn
如将上例用表格表示如下：s.t. a11x1 + … + a1nxn ≤ ( =, ≥) b1 a21x1 + … + a2nxn ≤ ( =, ≥) b2
例3：某昼夜服务的公交线路每天各时间
段内所需司机和乘务人员数如下：
班次
时间
所需最少人数
1
6：00——10：00
60
2
10：00——14：00
70
3
14：00——18：00
60
4
18：00——22：00
50
5
22：00——2：00
20
6
2：00——6：00
30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工 作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又配备最少司机和乘务人员？
第二章 线性规划 与单纯性法 (Lp)
Linear programming
线性规划
(Linear Programming)
线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划的单纯形法 单纯形法的进一步讨论
例：一个成年人每天需要 : 3000 kcal的热 量、55 g蛋白质和800 mg的钙。
︰
设变量 x j ( j 1 2n)
︰
am1x1 + … + amnxn ≤ ( =, ≥) bm
x1 ， … xn ≥ 0
cj
c1 c2 cn
i
j 1 2 n
bi
1
a11 a1n b1
2

aij
b2
m
am1 amn bm
例：生产计划问题
²ú ²·A ²ú ²·B ײ²²²
x1
X




xn
a11 a1n
A






am1 amn
b1
b




bm
Max(min)Z = c1x1 + … + cnxn s.t. a11x1 + … + a1nxn ≤ ( =, ≥) b1
a21x1 + … + a2nxn ≤ ( =, ≥) b2
• 一个目标函数：使函数最大或最
小就是问题的目的
噢…
• 一组约束条件
设 x i 为第i种食品每天的购入量，
MinZ = 14x1+6x2+3x3+2x4 目标函数
1000x1+800x2+900x3+200x4≥ 3000
s.t. 50x1 + 60x2 + 20x3 + 10x4 ≥ 55 400x1 + 200x2 + 300x3 +500x4≥800
• 适宜解决的问题：产品的最优组合，生 产排序，最优投资方案，人力资源分配， 营养分配问题等
²²²²¨²¤²±² 9 4 360
²è ±²²¨²¨²±² 4 ²²²²¨²²² 3
5 200
A? B?
10 300
²²²ú ²·²²ó ²¨²² 70 120
总结
• 线性规划解决问题的共性：一些稀缺或 有限的资源必须被分配到一些指定的生 产活动中去，而这些资源的使用会伴随 着费用或效益的发生
• 线性规划可用于合理分配这些资源，并 使付出的费用最大或获得的收益最大
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ ( =, ≥) b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ ( =, ≥) b2
︰ ︰
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ ( =, ≥) bm x1 ， x2 ， … xn ≥ 0
矩阵形式： C ( c1 c2 cn )
每个广告的效果
影响的总人数（万）
报纸 电台 电视
5
10
15
影响的已婚人数（万）
1.5
2
4
影响平均收入以上的人数
2
3
5
（万）
最高广告数限制
100 150
50
最低广告数限制
25
30
30
每个广告成本（万元）
3
1.5
15
该公司的目标是使广告影响的人数最 多，并满足下列条件:
• 至少要影响500万人口 • 至少要影响100万已结婚的人口 • 至少要影响150万收入在平均收