余子式与代数余子式

例如 D
a 21 0 a 41
a 22 0 a 42
a 23 a 33 a 43
a11
a 24 0 a 44
a12 a14
3 3 1 a 33 a 21 a 22 a 24 .
a 41
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1010
第二章 行列式
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行, 第i 2行, 第1行对调, 0 aij 0 ij
证明
D D1 D2 .
2 2
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第二章 行列式
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
a42
a 44
9 9
第二章 行列式
证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
再证一般情形, 此时
0 2 4 2 1
4 1 3 2
6 2 12.
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5 5
第二章 行列式 一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a31 a32 a33
2 3
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24 a 34 a 44
a11 M 23 a 31 a 41
a12 a 32 a 42
a14 a 34 a 44
A23 1
M 23 M 23 .
7 7
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第二章 行列式
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记
Aij 1
i j
M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 D a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
M 44 a21 a22 a23 , A44 14 4 M 44 M 44 . a31 a32 a33
注：行列式的每一个元素都有一个余子式和代数 余子式
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8 8
第二章 行列式
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij A ． ij a11 a12 a13 a14
4 4
第二章 行列式
例
计算
1 2 3 0 0 2 1 0 0 0 D 1 0 1 D 2 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 3 2 0 2 0 1 1 1 3 1 0 0 2 2 1
p11 0 q11 q n1 qnn , pk 1 pkk D c11 c1k c n1 c nk
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
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对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
q11 0 设为 D2 q11 qnn . qn1 pnk
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3 3
第二章 行列式
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 c i kc j , 把 D 化为下三角形行列式
第六节 行列式按一行（列）展开
一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则
1
第二章 行列式
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn
例
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a23 a32 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a23 a31 a33
6 6
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第二章 行列式
a11 a21 D a31 a41
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 1 M 12 M 12 . a11 a12 a13