钢结构第4章轴心讲义受力构件

1
y ''
由曲率的关系：
3
1 y'2 2
y''
由物理关系： M EI EIy''
由平衡关系： M Py
所以有
EIy''Py0
k2 P EI
变成标准的数学表达式 y''k2y 0
这是标准的一元二次常系数齐次方程，方程有通解
yA sinkxB coskx
根据边界条件：x=0，y=0；x=l，y=0 则：B=0，Asinkl=0 由于A=0不是要求的解，故只有sinkl=0，从而有kl=nπ（n=1,2,3……）
4.2.1 轴心受力杆件的强度计算
要求轴心受力杆件的截面应力不超过屈服强度，即
N fy f 即： N f
A r
A
当杆件截面有削弱，则应当扣除削弱部分面积：
N f An
式中：N 为所受的轴力； f 为材料抗拉强度设计值； An 为杆件截面的净截面面积
4.2.2 轴心受力杆件的刚度
受拉和受压杆件的刚度通过控制杆件的长细比来实现
① 弯曲失稳：弯曲变形过大，常为双轴对称截面构件; ② 扭转失稳：扭转变形过大，常为开口薄壁截面构件; ③ 弯扭失稳：同时有过大弯扭变形，常为单轴对称或无对称轴截面构件.
弯曲失稳是压杆失稳的最简单，也是最基本的形态。 首先回顾弯曲失稳。
（3）理想轴压杆弯曲失稳的临界力（临界应力）计算
一两端简支的轴心压杆在某一荷载作用下，杆件处在微弯（扭）的平衡 状态（临界状态），相应的荷载称临界荷载或临界力，相应的应力称临 界应力。取以脱离体，
钢结构第4章轴心受力构件
精品
2、截面型式： 热轧型钢、冷弯薄壁型钢、实腹式组合、格构式组合。
a)
b)
对于轴心受力构件的要求：①足够的强度与刚度；②制作简单；③ 便于连接。
3、 柱的形式与组成部分
三种柱的类型： （1）实腹式柱 （2）格构式柱
①缀条式 ②缀板式
柱的形式1
柱的形式1
柱的形式3
4.2、轴心受力构件的强度与刚度
cr fy
fp
或 p E fp
（4）、 轴压杆件的弹塑性弯曲屈曲 当杆件的长细比λ<λp时就进入了弹塑性失稳阶段。这时可以用杆件材
料的切线模量Et代替弹性模量E，即切线模量理论。
按照切线模量理论：只要中的弹性模量E用切线模量Et代替，即得非 弹性临界力和非弹性临界应力。
非弹性临界应力cr，t计算式为：
注意：关于长细比
(1) 定义长细比 = lo/ i ，弯曲变形与成正比， 控制可达到控制变形 的目的 (2) 构件截面两主轴回转半径为ix, iy，计算长度为lox, loy，长细比：x = lox/ ix， y = loy/ iy ， (3) 要求x≤[]，y≤[]，[]为长细比限制值 (4) 预应力拉杆可不限制长细比
2 0
与杆件的计算长度无关！
对于轴压杆的扭转屈曲可以通过与弯曲屈曲等价而按弯曲屈曲计算
即：
Nz NE
2lE2I
l0
i
(1) 避免使用状态下发生振动、弯曲，施工过程中变形，构件变形与长 度、截面刚度、约束条件有关 (2) 几何长度和约束条件用计算长度lo=ml 表示，m为计算长度系数， 约束越强，m越小，变形小 (3) 截面刚度包括弯曲刚度EI和轴向刚度EA，弯曲变形影响更大，综 合刚度指标用回转半径i表示 (4) 回转半径大，弯曲变形小
cr ,t
Hale Waihona Puke Baidu
2Et 2
cr
fy
fp
Et=tg
E=tg
（4）理想轴压杆的扭转失稳
轴心压力达到扭转屈曲临界值Nz,cr时，轴心压杆既可在直线受压状态 下平衡，也可在扭转变形状态下平衡。
轴压杆扭转失稳的临界荷载
N＜Nz,cr
N=Nz,cr
Nz Nz,cr
2lE 2IGIt
1 i02
lω为扭转屈曲的计算长度，与杆件 的计算长度l0类似，但取决于对 于杆端的翘曲约束。
钢结构的稳定问题需要计算包括两大方面 （1）整体稳定计算 （2）局部稳定计算
杆件的整体失稳
杆件的局部失稳
4.3.2 轴心受压构件的整体稳定
1、 理想轴压杆的整体稳定性
（1） 理想轴压杆的概念； ① 理想杆件——杆件完全平直，没有初弯曲，没有缺陷，没有初应力； ② 理想截面——杆件等截面； ③ 理想荷载——杆件荷载作用线与杆轴完全重合，没有偏心； ④ 理想约束——杆件的约束为光滑的； ⑤ 小变形——失稳时变形微小；
（2）、理想轴压杆的失稳形态 理想轴压杆的失稳形式有三种基本形态：
① 弯曲失稳； ② 扭转失稳； ③ 弯扭失稳；
理想轴压杆的失稳形式有三种基本形态：（1）弯曲失稳
理想轴压杆的失稳形式有三种基本形态：（2）扭转失稳
理想轴压杆的失稳形式有三种基本形态：（3）弯扭失稳
理想轴压杆三种失稳形式的特点：
由于求临界荷载，故n=1，即kl=π
这样：
k2
P EI
2
l2
或
2EI P
l2
这就是欧拉公式，荷载称为欧拉临界荷载常写为
2EI
Pcr PE l2
也可以写成应力表示 cr EP A El2 2E AI22E
l 为杆件的长细比； i I 为杆件截面的回转半径
i
A
在建立微分方程时也可以考虑杆件剪切变形的影响，只要将变形中包括 剪切变形这一项。y=y1+y2
这时考虑剪切变形的临界荷载为 γ为杆件的单位剪力的剪切角
Pcr
PE
2EI
l2
1
1l22EI
1
P PE
这类杆件的稳定破坏具有分枝的特点：在达到临界荷载
（欧拉荷载）之前为完全竖直状态，一旦达到临界荷载
则出现了弯曲分枝点。
Δ
欧拉公式有适用条件：即杆件的应力不能大于材料的比例极限（线性条
件）
cr
2E
2
fp
受拉杆件的容许长细比p109 表4.1（要注意其表下的注） 受压杆件的容许长细比 p111 表4.2
教材p110例4.1、例4.2，略
4.3 轴心受压构件的稳定
4.3.1 关于稳定的概念
稳定的平衡状态
随遇平衡状态 临界平衡状态
不稳定的平衡状态
对于轴心受压构件控制其承载能力的往往是其稳定承载能力，在钢结 构中，这个问题尤为突出。
i0是截面对于剪力中心的极回转半 径，双轴对称截面：i02=ix2+iy2
It截面抗扭惯性矩（对于十字截面、 T型截面、角形截面可取为0）
lω为扭转屈曲计算长度。
直线平 衡状态
N＜Nz,cr
扭转平 衡状态
N= Nz,cr
对于一些薄壁截面，如：T型、L型、十字型，Iω=0，这时临界荷载
Nz
G It
i