参数范围(求恒成立问题)

专题——求参数取值范围一般方法

概念与用法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。

题型以及解题方法

一，分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+

- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x +

->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，

设()23f x x x =-+，则()2

3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >

例2．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,

∴45-a -a+5>3即45-a >a+2

上式等价于⎪⎩

⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-0

4502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

二，变主换元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例3．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

解：不等式即(x -1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：

⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0

103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.

例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：设()()

()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210

x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩

x << 三，利用二次函数根的分布

例5.设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.

ⅰ)当∆=4（a -1)(a+2)<0时，即-2

ⅱ）当∆=4（a -1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,12

20)1(0a f 即⎪⎩

⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,10

30)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;

综合可得a 的取值范围为[-3，1]

四，利用集合与几何之间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

例6、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：1log 1a x -<<

（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113

a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a

⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103

a <≤

或3a ≥ 五，几何中的求参 要确定变量k 的范围，可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。

的范围。

轴上截得在求若若两点相交于与的直线的焦点，过点是给定抛物线一个参数的范围）

、（双参数且已知其中例m y l ],9,4[,AF FB .

B ,A

C l F C F ,4x y :C 72∈==λλ