电磁场与电磁波习题第3章

B1n B2n
n (H2 H1) JS
定义: 磁场强度 介质中安培环路定律:
r H
r B
r M
0
rr
ÑC H dl I
rr H J
(A/m) (积分式) (微分式)
3—1 一个半径为a的球内均匀分布着总量为q的电荷，若其以
角速度 w 绕一直径匀速旋转，求球内的电流密度。
解：根据电流的密度公式
第3章 恒定电流的电场和磁场
恒定电流的电场的基本方程：
积分形式 微分形式
rr
Ñ S J dS 0
rr
Ñ S E dl 0
r J 0
r E 0
欧姆定律的微分形式 焦耳定律的微分形式
r
r
J E
rr p = J gE
r J
vr
均匀导体中的电位满足 2 = 0
拉普拉斯方程
边界条件
J 2n = J1n
0
a3
φ eφ
x
0I
4
2 ad
0
erx sin ery cos a
a3
erx cos ery sin
r
B
r ez
0 I 4
a2 a3
2
d
0
3-12 两个半径都为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d<2a 。除两柱 重叠部分R外，柱间有大小相待、方向相反的电流，密度为 J ，求区域R的 B 。
rr 解：要求损耗功率P，需要求 p = J gE
设内、外极板之间的总电流为I。由对称性，可以得到极板间 的电流密度为
r
Ir
J = 4 r 2 er
由欧姆定律的微分形式
( a≤r ≤b )
r
r
J E
b
a r
r
得
r E
J
I
4 r 2
err
rr p = J gE
从而得到
r J
=
I
4 r 2
err
r J
rr
ÑS B dS 0
rr
ÑC B dl 0 I
（微分形式）
r B 0
r
r
B 0J
r
r
B A
r
r
2 A － J
r 2A 0
体电流的磁矢量位：
r
A
0
r J dV
4 V R
面电流的磁矢量位：
r
A
0
r J S dS
4 S R
线电流的磁矢量位：
r
r
A
0
Idl
4 l R
恒定磁场的边界条件： n (B2 B1) 0
=
U0
1 a
1 b
r
2
err
2
rr p = J gE
J2
U0
1 a
1 b
r
2
P =
b p4 r 2dr =
b
U02
4 r 2dr
z
a
1 a
1 b
2
r
4
b
a r
b
=
4 U02
dr = 4 U02
a
1 a
1 b
2
r2
Hale Waihona Puke Baidu
1 a
1 b
2
b dr 4 U02
a r2
B2n = B1n
E2t E1t H 2t H1t J S
线电流磁感应强度 体电流磁感应强度 面电流磁感应强度
rr
Ñ r
B
0
I1dl1 R
4 C1 R3
Br (rr ) 0
r J
(rr
')
r RdV
'
4 V R3
Br (rr ) 0
r J
s
(rr
')
r R
dS
'
4 s R3
基本方程 （积分形式）
B dl
C
0 I
方向相同
r
A
0
r J dV
4 V R
由以上磁矢位的的计算公式 可知，磁矢位的方向与电流 的方向相同
B在这条闭合线上相等
rr rr
S B dl Ñ A dl
11
ab
dr
求出电流I后，可以利用电路公式：
P
=
IU
=
4 U0
11
U0
4
U
2 0
11
ab
ab
R= U I
=
U0
4 U0
1
4
1 a
1 b
11
ab
3—3 一个半径为a的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率 为σ。略去地面的影响，求电极的接地电阻。
解；当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限 大均匀导电媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流 为I，则任意点的电流密度为
r J
vr
需要求电荷密度 与电荷运动速度 vr
选取球坐标系。设转轴和直角坐标系的z轴重合，球内
某一点的坐标为(r,θ,φ)， 则该点的线速度为
r v
=
r e
z
rr
r sin er
z
q 4 a3
3
r J
vr
=
3qrsin 4 a 3
er
θ y
x
3—2 球形电容器内、外极板的半径分别为a、b，其间媒质的电 导率为σ，当外加电压为U0时，计算功率损耗并求电阻。
解：电流元Idl在中心处产生的磁场为：
r dB
0
4
r Idl
rr
rr
'
rr rr ' 3
rr
Ñ r
B
0
I1dl1 R
4 C1 R3
z
rr
r 0
rr
'
r aer
y
rr
rr
'
r 0
r aer
aerr
x
rr rr ' a
r dl
ader
r B
0 I 4
2
a
r ez
0 I
2a
r ez
Ñ r
B
0
解：将R区分别加上相反 的电流 J ，则左边的圆柱 中电流在R区产生的磁感 应强度为：
rr
Ñ B1gdl 2 r1B1 0 r12J
B1
0r1J
2
r B1
0r1J
2
er1
rr
ÑC B dl 0 I
同理，右边边圆柱中电流在R区产生的磁感应强度为：
B2
0r2 J
2
r B2
0r2 J
2
r e
2
由于有：
r rr e1 ez e1
r rr e 2 ez e 2
z
r B
r B1
r B2
0r1J
2
erz
er1
0r2 J
2
erz
r e
2
0 J
2
r ez
r r1e1
r r1e
2
x
er z
y
φr
er
e
0 J
2
erz
derx
0 Jd
2
ery
3－16
rr
Ñ 解：设导线和z轴重合。用安培环路定律，
可以得到直导线的磁场为
设电容器极板之间的电流密度为J，则
J 1 E1 2 E2
E1＝
J
1
E2＝
J
2
于是 U0 E1d1 E2 d2
U0
Jd1
1
Jd 2
2
J U0 d1 d2
1 2
E1＝
J
1
E2＝
J
2
分界面上的自由面电荷密度为
J U0 d1 d2
1 2
3－9 求载流为I、半径为 a 的圆形导线中心的磁感应强度。
4
r Idl
rr
rr
rr rr ' 3
'
0 I 4
2 ader aerr
0
a3
rr rr ' a erx cos ery sin
r
dl
ader
ad
erx sin ery cos
r B
0 4
r Idl
rr
rr
Ñ rr rr ' 3
'
y 0
0 I
4
2
ad
r e
aerr
导体球面的电位为(选取无穷远处为电位零点)
接地电阻为
有用静电比拟法的； 还有利用上题的结果的。
3—5 如图3—8，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分 别为d1和d2，介电常数分别为 1和 2，电导率分别为1和 2 ， 当外加电压U0时，求分界面上的自由电荷面密度
解：分界面上的自由面电荷密度为 可由边界条件确定 S D2n D1n