3高等数学课件(完整版)详细

x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f ( x) 及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理
时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x
1 x2 2 ( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
x
1.
x0 ( x)
x0 1
例2
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). 只有 f () 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2]; 在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0.
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)(1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b) 内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
xa ,
xa
F1 (
x)
F
( x), 0,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点 x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
定义 如果当x a(或x )时,两个函数f ( x)
与F ( x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限
lim f ( x) 称为0 或 型未定式.
xa F ( x)
0
( x)
例如,
lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外), f ( x) 及 F( x) 都存在且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
f ( x) f (), f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
f()
lim
x 0
f (
x) x
f ()
0;
证明： f ( x) f (n) (x)，（0 1）.
xn
n!
八、设 f ( x)在[a, b]内上连续，在(a, b)内可导，若
0 a b,则在(a, b)内存在一点 ，使
af (b) bf (a) [ f ( ) f ( )](a b)] .
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
又例如, y 1 x, x (0,1], f (0) 0;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
x
证 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0.
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0. 即 f () f (b) f (a) F () 0,
xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) .
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
当x 时,以及x a, x 时,该法则仍然成立.
证 定义辅助函数
f1(
x)
f
( x), 0,
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
lim f ( ) A, a F ( )
lim f ( x) lim f ( ) A. xa F ( x) a F ( )
例1 求 lim tan x .
(0)
x0 x
0
解
原式
lim (tan x)
sec2 lim
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
思考题解答
x2, 0 x 1
f1
(
x)
3,
x1
不满足在闭区间上连续的条件；
f2 ( x)
1 x
,
x [a,b]
且 ab 0
不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.
练习题
一、 填空题： 1、函数 f ( x) x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间 I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间 I 上是一个常数.
增量y的精确表达式.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有 一点C(F (), f ()),在 该点处的切线平行于 A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
F (2 )F (b)
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
五、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex . 六、证明方程 x 5 x 1 0只有一个正根 .
七、设函数 y f ( x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 在(a, b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1) f (0) f ()
10
2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F( x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
Байду номын сангаас
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.