大学物理误差理论
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大学物理误差理论
大学物理实验误差理论与数据处理
一、绪论 二、实验误差理论 三、实验数据处理 四、实验常用方法
一、绪论
1.物理实验的地位和作用 近代科学历史表明，自然科学领域内的所
有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。 随着科学技术的发展，实验也日益广泛和复 杂，实验的精确程度越来越高，实验环节在科 学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。
作图法的优点是直观、方便、有取平均的效果。
测量的数据标在图上，或是计算后的数据标在图上，常用有等 分线性和对数坐标的图。
例3： 已知在温度t=0 10 C的区间内，水的饱和蒸气压PW的数值 如下表所示，求7.7 C下水的饱和蒸气压。
表 水的饱和蒸气压随温度的变化
t( C)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PW(mmHg) 4.58 4.93 5.29 5.69 6.10 6.54 7.01 7.51 8.05 8.61 9.21
2）分类：
一次逐差，即线性关系
y a0 a1x
二次逐差，
ya0a1xa2x2
还有三次逐差等，也可经过变换后应用逐差法
如：
T2 m/k
T2
4 2
k
m
a1m
A A0et lnAlnA0t
逐差法处理实验数据举例 用伏安法测电阻得到一组数据
i Vi(V)
1
2
0
2.00
Ii(mA)
0
3.85
1I=Ii+1Ii
3.测量值的有效数字 （1）有效数字的概念与读取
有效数字的组成：把测量结果中可靠的位数加上不 确定的一位（或是有误差的一位）称为测量结果的有 效数字。
如：0.123，2.475，34.20，5.00等； 最后的一位是估计位，不确定的； 前面的0不是有效位数，后面的0是有效位数。
米尺 2021/1/21
PW (mmHg)
9
8 7 .9 0
7
6
5
40 2
4
6
8
7 .7
10
t(C )
（1）作图必须用坐标纸 （2）标明轴、数值、单位 （3）标明数据点 （4）连线要光滑，数据点
要分列在连线二侧。
（3）逐差法 1）条件：
① 当自变量与因变量成一多项式关系；
② 自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于 因变量的误差时。
3.85
4.30
3I=Ii+3Ii
12.05
11.95
以上数据及结果说明： 1. 1I数值(逐项相减，一次逐差)稍有差别； 2. 3I数值(隔3项相减，一次逐差)基本相同；
说明I与V存在线性关系。
3 4.00 8.15 3.90 11.75
4 6.00 12.05 3.75
5 8.00 15.80 4.10
读数 级别%
仪0.0201B 仪 3 0.011
而不是1.35 0.01
这是根据不确定度宁大勿小原则，不确定度是只进不舍。
（2）随机误差的确定
(A类不确定度)
规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为
x
1 n1
n i1
(xi
x)2
因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用
算术平均标准偏差
1
y x2
dy
1
x
1 2
d
x
y 1 x12x
2
2
x=36.87=6.0720631 y0.00082
x0.01
2021/1/21
y x=6.0721
19
c）对数
对数的运算结果的有效数字位数也由其不确定度决定。
y lnx x3.95 y 1 x x0.01
x
y0.0025 y1.373 .. 7 .1.2 374
d N x f1d x 1 x f2d x 2 x f3d x 3 ... x fnd x n
即 N x f1 x 1 x f2 x 2 x f3 x 3 . . . x fn x n
考虑到x1、x2、x3…相互独立，则方和根值为绝对不确定度。
N ( x f1 x 1 )2 ( x f2 x 2 )2 ( x f3 x 3 )2 . .( . x fn x n )2
注意：
前面式中的 x1， x2，…… xn是包括了测量误
差和仪器误差。如果只是单次测量只有仪器误差。
最后的N位数只取一位，且只进不舍。
2.不确定度的计算 （1）仪器误差的确定
(B类不确定度)
一般按仪器的规定取，若没规定则有刻度的按最小 分度值的一半取，数字仪器若没有规定取最后一个字。
如：米尺取分度值一半；而游标卡尺的最小分度是 0.02mm，不确定度也是0.02mm；千分尺的最小分度 是0.01mm，但仪器规定不确定度是0.004mm。
量进行比较，得出它们之间的倍数关系。这倍数称 为待测量的数值，标准的同类量称为单位。 2.测量分类 (1)直接测量：由仪器或量具与待测物进行比较直接 得出的结果； (2)间接测量：由直接测量的数据，根据一定的关系 式，通过运算得出和结果。
（二）误差理论
1.测量误差的普遍性 (1)真值A：每个物理量本身的客观实际值，称为真值。 (2)测量值 x：由仪器或量具等得出的数值。
测量结果为
xx7 5 .0 50 .0 求3 不m 确定m 度。
解：
可得平均值为
x75.046m m
标准偏差即A类误差为 B类不确定度
A x n（ (xni x1） )2 100（ .01006441）0.008mm
BX3仪=0.032=0.011mm
不确定度为
2B 2A 0.01120.00820.03
2021/1/21
21
4.测量结果的表示
最佳测量值
测量值=最佳测量值 不确定度
（1）绝对不确定度 1)A类不确定度：
y
x
（单位） x
x
不确定度
用统计方法评定的不确定度
如： A x
2)B类不确定度：
不能用统计方法评定的不确定度
如：系统、仪器误差等，
（2）相对误差： 不确定度为： 2021/1/21
三、实验数据处理 1.测量值的处理
（1）直接测量 1）单次测量： 不确定度 2）多次测量：
不确定度为 结果表示为：
最佳测量值=单次测量值
x 仪
最佳测量值
表示为：
y x仪
=测量的算术平均值
x
1 n
n
xi
i 1
x 2A 2B y x x
（2）间接测量
首先导出不确定度的传递公式
1）单值函数
N f (x)
d）指数
指数运算结果的有效数字位数是把指数写成科学表示式，其小数点后的位数与指数的小数点后的位数相同。
ex=e4 . 2 6=7 0 . 8 0 9 9 8 . . . =7.08×10
2021/1/21
20
e）三角函数 三角函数运算结果的有效数字的位数由不确定度决定其位数。
ysinxsin2315sin23.250.3947438...
d N f , dN f d x, 其中dN是微小量，即是不
dx
确定度 N，
dx x是测量值的不确定度。
d f f 是不确定度的传递函数， dx
N df x 为不确定度的传递公式。 dx
2）多元函数
Nf(x1,x2,....xn)
求全微分可得
f f f
f
d N x 1d x 1 x 2d x 2 x 3d x 3 ... x nd x n
指针式仪表有等级的规定是：
电表为：
仪Amk%
如：满量程Am=100mA，k =1.5级，则
仪 100 1.5% 1.5m A
此时就算是测量的值只有2mA也这个误差。
电阻箱的不确定度为： 数字仪表按规定如：
若读数为1.346，
则结果表示为1.35 0.02，
仪xk%
某万用表 （0.8%读数+3字）
6 10.00 19.90
（4）回归法 即用最小二乘法进行一元线性和多元线性回归。 四、实验常用方法
游标尺
螺旋测微仪
指针式表
1. 3 6 2 3
数字仪表 17
（2）有效数字运算规则:
二条规则
①最后运算结果的有效数字只保留一位估计位； ②由不确定度决定有效数字。
1）加减运算：有效数字的位数对齐，如： 24.8+3.96=28.76=28.8， 537-61.28=475.72=476， 规律是其和差值的有效数字位数与参加运算的有效
数字中最后一位在位最高的位数相同。 运算中多余的数按尾数凑偶舍入法的规则，
小于5则舍，大于5则入，等于5则把尾数凑成偶数。 4.32750 4.328，
4.328504.328，
4.237494.237
37.8437.8，
2.252.2，
2.2512.3。
2021/1/21
18
2）乘除运算：
1
y x d y 1 x d x y 1 x x 1.72 4.1=7.3052=7.1，
x 1 0 .0 0 0 2 9 ra d ycosxx0.00026640.0003 sin2 3 .2 5 0 .3 9 4 7
4）有效数字的其它表示：
①科学表示时，有效数字的位数是底数；
表示3位有效数字，
Biblioteka Baidu不能写成128000。
如： 1.28×105
②对参与运算的常数如：
，，N0
等不是测量值，一般是比测量值多取一位参加运算。
由于仪器或量具的分辩率、灵敏度、精确度等限制， 测量值不可能绝对准确，与真值有差别。
(3)误差 ：
xA, 称为测量误差。测量误差贯穿
于测量过程的始终，误差可以小，但不可能没有。
①绝对误差
②相对误差
2.误差分类 （1）系统误差：
定的规律变化。
误差的大小和符号保持不变，或按一 发现系统误差，减小或修正系统误差
对有些函数关系是乘除，可先求相对不确定度，然后再求绝 对不确定度较为方便。
相对不确定度：
lnNlnf(x1,x2...x.n.).
N N ( lx 1 f n x 1 ) 2 ( l x 2 f n x 2 ) 2 ( l x 3 f n x 3 ) 2 . .( . l x n f n x n ) 2
表示。公式为
1
n 1
n i 1
xi2
x
x n
1 n(n 1)
n i1
xi2
所以默认不确定度为
2B x2
例1. 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系 统误差和粗大误差，测得数据如下（单位：mm）
0.03mm 75.不02确，定75度.0为4，75.06，75.00，75.04，
75.08，75.06，75.02，75.06，75.08
实验成绩=每个实验成绩总和的平均值
（3）实验报告的撰写： 主要有四部分内容，用统一实验报告册；
①实验预习：实验名称、目的、仪器、原理、
方法等；
②测量的原始数据记录：一般用表格记录；
③数据处理：包括作图，测量值的计算， 误差(不确定度)计算等；
④小结，回答问题等。
二、实验误差理论
（一）测量
1.测量的定义 测量将待测的物理量与一个选来作为标准的同类
研究某一物理量随另一物理量变化的规律， 学会正确使用某些仪器设备。
(1)实验课分类 (2)实验程序 (3)评分方法
基本实验 综合性实验 设计应用性实验 研究性实验 预习实验
进行实验
实验报告
预习实验原理、 要求、方法等
回答问题、学习仪器 使用、测物理量等
实验数据处理 误差计算分析
15% 55%
30%
物理实验是科学实验的重要组成部分之一。 物理概念的确定，物理规律的发现，物理理论 的建立都有赖于物理实验。
2. 物理实验的任务和目的 物理实验是对理工科学生进行科学实验基
本训练的一门独立基础必修课，是学生进入大 学后受到系统实验方法和实验技能训练的开 始。
3. 物理实验的基本程序 物理实验课的内容：测量某一物理量或
Ex
B
x
仪 C
100%
x
x 2A 2B 方、和、根方法
测量值的单位 22
3.实验数据处理基本方法
（1）列表法
表格一般没有统一的格式，可以自行设计。用来记 录测量的数据，直接测量计算的平均值及不确定度， 某些中间结果。要求有名称、单位等。
（2）作图法 用作图法可研究物理量之间的变化规律，可求得物
理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线， 提高计算效率等内容。它不光是一种处理数据的方法， 而且也是实验方法的一个不可分割的内容。
是实验中的一个重要技能，既要有经验又要有理论。
（2）随机误差（偶然误差）：
在多次测量中，物理量的
测量值时大时小，是一种随机性的误差，随机误差是
无法消除，只可能减小。 统计规律，我们就是研究随机误差。
但大量的测量值符合一定的
（3）过失误差：
这是人为造成的粗大误差，是要剔除。
系统误差与随机误差，对测量者而言，这二种误差 都存在。
2 3
5.39÷23=0.234347…=0.23，32
3 取有效数字位数最少的位数。
3
3）x其它运5算.：164 y1.72847092... x0.001
a）乘y方0.00011 y1.7285
乘方的有效数字的位数由底数的位数决定。
如：25.362=643.1296=643.1， b）开方
开方运算结果的有效数字的位数由其不确定度决定。
大学物理实验误差理论与数据处理
一、绪论 二、实验误差理论 三、实验数据处理 四、实验常用方法
一、绪论
1.物理实验的地位和作用 近代科学历史表明，自然科学领域内的所
有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。 随着科学技术的发展，实验也日益广泛和复 杂，实验的精确程度越来越高，实验环节在科 学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。
作图法的优点是直观、方便、有取平均的效果。
测量的数据标在图上，或是计算后的数据标在图上，常用有等 分线性和对数坐标的图。
例3： 已知在温度t=0 10 C的区间内，水的饱和蒸气压PW的数值 如下表所示，求7.7 C下水的饱和蒸气压。
表 水的饱和蒸气压随温度的变化
t( C)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PW(mmHg) 4.58 4.93 5.29 5.69 6.10 6.54 7.01 7.51 8.05 8.61 9.21
2）分类：
一次逐差，即线性关系
y a0 a1x
二次逐差，
ya0a1xa2x2
还有三次逐差等，也可经过变换后应用逐差法
如：
T2 m/k
T2
4 2
k
m
a1m
A A0et lnAlnA0t
逐差法处理实验数据举例 用伏安法测电阻得到一组数据
i Vi(V)
1
2
0
2.00
Ii(mA)
0
3.85
1I=Ii+1Ii
3.测量值的有效数字 （1）有效数字的概念与读取
有效数字的组成：把测量结果中可靠的位数加上不 确定的一位（或是有误差的一位）称为测量结果的有 效数字。
如：0.123，2.475，34.20，5.00等； 最后的一位是估计位，不确定的； 前面的0不是有效位数，后面的0是有效位数。
米尺 2021/1/21
PW (mmHg)
9
8 7 .9 0
7
6
5
40 2
4
6
8
7 .7
10
t(C )
（1）作图必须用坐标纸 （2）标明轴、数值、单位 （3）标明数据点 （4）连线要光滑，数据点
要分列在连线二侧。
（3）逐差法 1）条件：
① 当自变量与因变量成一多项式关系；
② 自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于 因变量的误差时。
3.85
4.30
3I=Ii+3Ii
12.05
11.95
以上数据及结果说明： 1. 1I数值(逐项相减，一次逐差)稍有差别； 2. 3I数值(隔3项相减，一次逐差)基本相同；
说明I与V存在线性关系。
3 4.00 8.15 3.90 11.75
4 6.00 12.05 3.75
5 8.00 15.80 4.10
读数 级别%
仪0.0201B 仪 3 0.011
而不是1.35 0.01
这是根据不确定度宁大勿小原则，不确定度是只进不舍。
（2）随机误差的确定
(A类不确定度)
规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为
x
1 n1
n i1
(xi
x)2
因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用
算术平均标准偏差
1
y x2
dy
1
x
1 2
d
x
y 1 x12x
2
2
x=36.87=6.0720631 y0.00082
x0.01
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y x=6.0721
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c）对数
对数的运算结果的有效数字位数也由其不确定度决定。
y lnx x3.95 y 1 x x0.01
x
y0.0025 y1.373 .. 7 .1.2 374
d N x f1d x 1 x f2d x 2 x f3d x 3 ... x fnd x n
即 N x f1 x 1 x f2 x 2 x f3 x 3 . . . x fn x n
考虑到x1、x2、x3…相互独立，则方和根值为绝对不确定度。
N ( x f1 x 1 )2 ( x f2 x 2 )2 ( x f3 x 3 )2 . .( . x fn x n )2
注意：
前面式中的 x1， x2，…… xn是包括了测量误
差和仪器误差。如果只是单次测量只有仪器误差。
最后的N位数只取一位，且只进不舍。
2.不确定度的计算 （1）仪器误差的确定
(B类不确定度)
一般按仪器的规定取，若没规定则有刻度的按最小 分度值的一半取，数字仪器若没有规定取最后一个字。
如：米尺取分度值一半；而游标卡尺的最小分度是 0.02mm，不确定度也是0.02mm；千分尺的最小分度 是0.01mm，但仪器规定不确定度是0.004mm。
量进行比较，得出它们之间的倍数关系。这倍数称 为待测量的数值，标准的同类量称为单位。 2.测量分类 (1)直接测量：由仪器或量具与待测物进行比较直接 得出的结果； (2)间接测量：由直接测量的数据，根据一定的关系 式，通过运算得出和结果。
（二）误差理论
1.测量误差的普遍性 (1)真值A：每个物理量本身的客观实际值，称为真值。 (2)测量值 x：由仪器或量具等得出的数值。
测量结果为
xx7 5 .0 50 .0 求3 不m 确定m 度。
解：
可得平均值为
x75.046m m
标准偏差即A类误差为 B类不确定度
A x n（ (xni x1） )2 100（ .01006441）0.008mm
BX3仪=0.032=0.011mm
不确定度为
2B 2A 0.01120.00820.03
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4.测量结果的表示
最佳测量值
测量值=最佳测量值 不确定度
（1）绝对不确定度 1)A类不确定度：
y
x
（单位） x
x
不确定度
用统计方法评定的不确定度
如： A x
2)B类不确定度：
不能用统计方法评定的不确定度
如：系统、仪器误差等，
（2）相对误差： 不确定度为： 2021/1/21
三、实验数据处理 1.测量值的处理
（1）直接测量 1）单次测量： 不确定度 2）多次测量：
不确定度为 结果表示为：
最佳测量值=单次测量值
x 仪
最佳测量值
表示为：
y x仪
=测量的算术平均值
x
1 n
n
xi
i 1
x 2A 2B y x x
（2）间接测量
首先导出不确定度的传递公式
1）单值函数
N f (x)
d）指数
指数运算结果的有效数字位数是把指数写成科学表示式，其小数点后的位数与指数的小数点后的位数相同。
ex=e4 . 2 6=7 0 . 8 0 9 9 8 . . . =7.08×10
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e）三角函数 三角函数运算结果的有效数字的位数由不确定度决定其位数。
ysinxsin2315sin23.250.3947438...
d N f , dN f d x, 其中dN是微小量，即是不
dx
确定度 N，
dx x是测量值的不确定度。
d f f 是不确定度的传递函数， dx
N df x 为不确定度的传递公式。 dx
2）多元函数
Nf(x1,x2,....xn)
求全微分可得
f f f
f
d N x 1d x 1 x 2d x 2 x 3d x 3 ... x nd x n
指针式仪表有等级的规定是：
电表为：
仪Amk%
如：满量程Am=100mA，k =1.5级，则
仪 100 1.5% 1.5m A
此时就算是测量的值只有2mA也这个误差。
电阻箱的不确定度为： 数字仪表按规定如：
若读数为1.346，
则结果表示为1.35 0.02，
仪xk%
某万用表 （0.8%读数+3字）
6 10.00 19.90
（4）回归法 即用最小二乘法进行一元线性和多元线性回归。 四、实验常用方法
游标尺
螺旋测微仪
指针式表
1. 3 6 2 3
数字仪表 17
（2）有效数字运算规则:
二条规则
①最后运算结果的有效数字只保留一位估计位； ②由不确定度决定有效数字。
1）加减运算：有效数字的位数对齐，如： 24.8+3.96=28.76=28.8， 537-61.28=475.72=476， 规律是其和差值的有效数字位数与参加运算的有效
数字中最后一位在位最高的位数相同。 运算中多余的数按尾数凑偶舍入法的规则，
小于5则舍，大于5则入，等于5则把尾数凑成偶数。 4.32750 4.328，
4.328504.328，
4.237494.237
37.8437.8，
2.252.2，
2.2512.3。
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18
2）乘除运算：
1
y x d y 1 x d x y 1 x x 1.72 4.1=7.3052=7.1，
x 1 0 .0 0 0 2 9 ra d ycosxx0.00026640.0003 sin2 3 .2 5 0 .3 9 4 7
4）有效数字的其它表示：
①科学表示时，有效数字的位数是底数；
表示3位有效数字，
Biblioteka Baidu不能写成128000。
如： 1.28×105
②对参与运算的常数如：
，，N0
等不是测量值，一般是比测量值多取一位参加运算。
由于仪器或量具的分辩率、灵敏度、精确度等限制， 测量值不可能绝对准确，与真值有差别。
(3)误差 ：
xA, 称为测量误差。测量误差贯穿
于测量过程的始终，误差可以小，但不可能没有。
①绝对误差
②相对误差
2.误差分类 （1）系统误差：
定的规律变化。
误差的大小和符号保持不变，或按一 发现系统误差，减小或修正系统误差
对有些函数关系是乘除，可先求相对不确定度，然后再求绝 对不确定度较为方便。
相对不确定度：
lnNlnf(x1,x2...x.n.).
N N ( lx 1 f n x 1 ) 2 ( l x 2 f n x 2 ) 2 ( l x 3 f n x 3 ) 2 . .( . l x n f n x n ) 2
表示。公式为
1
n 1
n i 1
xi2
x
x n
1 n(n 1)
n i1
xi2
所以默认不确定度为
2B x2
例1. 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系 统误差和粗大误差，测得数据如下（单位：mm）
0.03mm 75.不02确，定75度.0为4，75.06，75.00，75.04，
75.08，75.06，75.02，75.06，75.08
实验成绩=每个实验成绩总和的平均值
（3）实验报告的撰写： 主要有四部分内容，用统一实验报告册；
①实验预习：实验名称、目的、仪器、原理、
方法等；
②测量的原始数据记录：一般用表格记录；
③数据处理：包括作图，测量值的计算， 误差(不确定度)计算等；
④小结，回答问题等。
二、实验误差理论
（一）测量
1.测量的定义 测量将待测的物理量与一个选来作为标准的同类
研究某一物理量随另一物理量变化的规律， 学会正确使用某些仪器设备。
(1)实验课分类 (2)实验程序 (3)评分方法
基本实验 综合性实验 设计应用性实验 研究性实验 预习实验
进行实验
实验报告
预习实验原理、 要求、方法等
回答问题、学习仪器 使用、测物理量等
实验数据处理 误差计算分析
15% 55%
30%
物理实验是科学实验的重要组成部分之一。 物理概念的确定，物理规律的发现，物理理论 的建立都有赖于物理实验。
2. 物理实验的任务和目的 物理实验是对理工科学生进行科学实验基
本训练的一门独立基础必修课，是学生进入大 学后受到系统实验方法和实验技能训练的开 始。
3. 物理实验的基本程序 物理实验课的内容：测量某一物理量或
Ex
B
x
仪 C
100%
x
x 2A 2B 方、和、根方法
测量值的单位 22
3.实验数据处理基本方法
（1）列表法
表格一般没有统一的格式，可以自行设计。用来记 录测量的数据，直接测量计算的平均值及不确定度， 某些中间结果。要求有名称、单位等。
（2）作图法 用作图法可研究物理量之间的变化规律，可求得物
理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线， 提高计算效率等内容。它不光是一种处理数据的方法， 而且也是实验方法的一个不可分割的内容。
是实验中的一个重要技能，既要有经验又要有理论。
（2）随机误差（偶然误差）：
在多次测量中，物理量的
测量值时大时小，是一种随机性的误差，随机误差是
无法消除，只可能减小。 统计规律，我们就是研究随机误差。
但大量的测量值符合一定的
（3）过失误差：
这是人为造成的粗大误差，是要剔除。
系统误差与随机误差，对测量者而言，这二种误差 都存在。
2 3
5.39÷23=0.234347…=0.23，32
3 取有效数字位数最少的位数。
3
3）x其它运5算.：164 y1.72847092... x0.001
a）乘y方0.00011 y1.7285
乘方的有效数字的位数由底数的位数决定。
如：25.362=643.1296=643.1， b）开方
开方运算结果的有效数字的位数由其不确定度决定。