2021-2022年高考数学精英备考专题讲座 第五讲立体几何 第一节空间几何体 文

2021

年高考数学精英备考专题讲座 第五讲立体几何 第一节空间几何体

文

三视图和几何体的结构特征是新课标高考的必考点，.几何体的表面积和体积也是高考命题的重点和热点，几乎年年出现，大多以小题出现，难度不大，大题中也有以三视图为背景条件的求面积.体积及位置关系问题，总体难度一般控制在0.4~0.7之间..

考试要求 （1）认识柱.锥.台.球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述

现

实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等简单组合体）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸.线条等不作严格要求）（5）了解球.棱柱.棱锥.台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；

题型一 三视图

例1（1）右图5-1-1，是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

2

3

2

2

图5-1-1

点拨识别上述三视图表示的立体图形

解从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱体组合而成的简单几何体，其表面积为：

22

411221312.

Sππππ

=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选D.

易错点对原几何体的下部分（圆柱体）的分析出错，误以为是长方体.

（2）将正三棱柱截去三个角（如图5-1-2所示，分别是三边的中点）得到几何体如图5-1-3，则该几何体按所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

点拨:底面和HGDE垂直，分析点B的位置

解：在左视图中，E，D两点重合，B，C两点重合，且平面ADE与平面FDE夹角为直角，故选（A）.

易错点对于左视图中点B的位置分析不正确.

变式与引申

1.（1）一个体积为的正三棱柱的三视图如图5-1-4所示，

则这个三棱柱的左视图的面积为（）

A．B．8 C．D．12

（2）用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图.

侧视图都是

如图5-1-5所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积

的差是（）.

A．6 B．7 C．8 D．9

题型二与球有关组合体

例2 如图5-1-6正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一

个球与四个面都相切. 求棱锥的表面积和球的半径.

点拨解决这类题的关键是根据空间想象能力和组合体的特点画出截面图. 解：如图5-1-7过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，p

A

B C

o 图5-1-6

因△ABC 是正三角形，易知AE 即是△ABC 中BC 边上的高，又是BC 边上的中线，作为正三棱锥的高PD 通过球心，且D 是三角形△ABC 的重心，据此根据底面边长为，即可算出

()

2

113262,123,

33DE AE PE ==⨯⨯==+

=

由△POF～△PED，知 ∴ ∴

()

.

36296

24

33622132

+=⨯+⨯⨯⨯=+=底侧表S S S

易错点，立体几何问题转化为平面问题解决.，截面图准确画出是最关键，也是容易出错

的地方.

变式与引申

2．如图5-1-8棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上， 若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的 截面）的面积.

题型三：旋转体问题

例3 一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为cm 的内接圆柱： （1）求圆锥的侧面积；

（2）当为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值.

点拨：充分利用轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题，然后注意平 面几何的性质. 例如相似图形对应边成比例.直角三角形的勾股定理等. 解： （1）母线长).(1022622cm l =+=

∴侧面积

（2）如图5-1-9所示，在轴截面图中设圆柱底面半径为，则 ∴

∴ （0＜＜6）

p

A

E o

F D

图5-1-7

r

x

图5-1-9

≤ 这时即

故当时，圆柱侧面积最大，最大值为

易错点： ①不能建立圆柱的侧面积与的函数关系式；

②忽视的取值范围；

变式与引申

3. 如图5-1-10，△ABC 的三边之长分别是AC=3，BC=3，AB=5. 现以AB 所在的直线为轴，将此三角形旋转一周如图5-1-11，求所得旋转体的表面积和体积

.

题型四 ：割补应用

例4如图5-1-12，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△AED.△BCF 均为正三角形，EF∥AB， EF=2，求该多面体的体积.

点拨：这是一个五面体，由于EF 与AB 不等，这个几何体不是很规则，如果我们过AD 作EF 直截面ADM ，过BC 作EF 直截面GBC ，则面ADM∥面GBC.这个五面体就分割成直三棱柱ADM-BCG 和两个三棱锥：E-ADM ，F-BCG.

解：如图5-1-13，过BC 作EF 的直截面BCG ，过AD 作EF 的直截面ADM

则面BCG∥面ADM ，ADM —BCG 为直三棱柱.

B A

C

D

E

F 图5-1-12