高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第二章 推理与证明 章末复习

章末复习

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．

2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．

4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n ＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．

5．归纳、猜想、证明

探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证

明.

题型一归纳推理和类比推理

归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．

运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．

例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()

A．28 B．76

C．123 D．199

答案C

解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.

跟踪演练1自然数按下表的规律排列

则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()

A．2 0072B．2 0082

C．2 006×2 007 D．2 007×2 008

答案D

解析经观察可得这个自然数表的排列特点：

①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；

②第一行第n个数为(n－1)2＋1；

③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；

④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.

故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.

题型二 直接证明

由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点．

综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用． 例2 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2.

证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2，

只需证

a 2＋1a 2＋2≥a ＋1

a

＋ 2.

∵a >0，故只需证⎝

⎛⎭⎫

a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a

＋22， 即a 2＋1

a 2＋4

a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a

2＋

22⎝⎛⎭⎫a ＋1

a ＋2， 从而只需证2

a 2＋1

a

2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝

⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1

a 2， 即a 2＋1

a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

跟踪演练2

如图，在四面体B －ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证： (1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .

证明 (1)要证直线EF ∥平面ACD ， 只需证EF ∥AD 且EF ⊄平面ACD . 因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，

所以EF ∥AD ，所以直线EF ∥平面ACD .

(2)要证平面EFC ⊥平面BCD ， 只需证BD ⊥平面EFC ， 只需证⎩⎪⎨⎪

⎧

EF ⊥BD ，CF ⊥BD ，

CF ∩EF ＝F .

因为⎩

⎪⎨⎪⎧

EF ∥AD ，AD ⊥BD ，所以EF ⊥BD .

又因为CB ＝CD ，F 为BD 的中点， 所以CF ⊥BD .所以平面EFC ⊥平面BCD . 题型三 反证法

如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．

反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．

例3 如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB 、DF 的中点．

(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解 法一

图(1)

如图(1)所示，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2， 则MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝2， ∵平面ABCD ⊥平面DCEF ，