part I 第四章 李雅普诺夫稳定性理论

几点说明： 1) V ( x, t ) 选取不唯一，但没有通用办法， ( x, t ) V . 选取不当，会导致 V ( x, t ) 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 . V ( x, t )--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤： 1) 构造一个 V ( x, t ) 二次型； . 2) 求 V ( x, t ) ，并代入状态方程； . 3) 判断 V ( x, t ) 的定号性； . 4) 判断非零情况下 V [ x (t ; x0 , t ), t ] 是否为零。 渐进稳定 李氏稳定 不稳定
.
2 1
2 2 2
定理1
∴ 1) 原点是渐进稳定的；
x ≠ 0 V ( x) < 0 . . ∴V ( x) 负定 ∵ x = 0 V ( x) = 0
2) 只有一个平衡状态，该系统是大范围 渐进稳定； 3) 由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进 稳定。
x2
几何意义：
V ( x) = x + x
4-2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.
李氏意义下的稳定 如果对每个实数 ε > 0 都对应存在另 一个实数 δ (ε , t0 ) > 0 满足
x0 − xe ≤ δ (ε , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t ; x0 , t0 ) ，在t → ∞ 都满足：
x(t ; x0 , t0 ) − xe ≤ ε , t ≥ t0
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3
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 Lyapunov函数 V ( x )
4-1 稳定性基本概念 1. 自治系统：输入为0的系统 x = Ax + Bu (u = 0) 2. 初态 x = f ( x, t ) 的解为 x(t ; x0 , t0 )
令 V ( x, t ). ≡ 0 若 x ≠ 0, V ( x, t ) ≡ 0 成立 若仅x = 0, V ( x, t ) ≡ 0 成立
.
.
李氏意义下稳定 渐进稳定
[例1]：已知非线性系统的状态方程为： .
x1 = x2 − x1 ( x + x ) . 2 2 x 2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 )
2 1 2 2
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
x1 = 0 令 . x2 = 0
.
x1 = 0 x2 = 0
原点是唯一平衡点
设 V ( x) = x + x . . . 则 V ( x ) = 2 x1 x1 + 2 x2 x 2
2 1 2 2
∴V ( x ) =
.
= −2( x + x )
x [说明]：不存在 V ( x, t ) ≡ 0 ， (t ; x0 , t0 ) → 0 经历能量等于恒定，但不维持在该状态。
定理3：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负半定； . (3) V [ x (t ; x0 , t ), t ] 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳 定的。
[例4]：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x1 = x2
. .
.
x 2 = − x1 + x2
2 2
.
解:
2 设 V ( x) = x + x 则 V ( x) = 2 x2 . 可见 V ( x)与 . x1 无关，故非零状态(如 x1 ≠ 0 ，而对其余任意状态 x2 =. 0 )有 V ( x) = 0 有 V ( x) > 0
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f = [ f1
f2
fn ]
T
x = [x1
令
x2
xn ]
T
Δx = x − f ( xe )
∂f A= T ∂x
x = xe
Δx = x − xe
则线性化系统方程为： Δx
= AΔx
结论： 1) 若 Re(λi ) < 0 i = 1, 2 , , n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g (x) 无关。 2) 若 Re(λi ) > 0 Re(λ j ) < 0 i ≠ j = 1, , n 则不稳定。 3) 若 Re(λi ) = 0 ，稳定性与 g (x)有关， g ( x) = 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
例如： x1 = x1
x2 = x1 + x2 − x
令
3 2
x1 = 0
0⎤ xe = ⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x2 = 0
⎡0⎤ xe2 = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
⇒
⎡0⎤ xe3 = ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
则：
x1 ≠ 0 , x2 = 0 : . V ( x) = 0 . ∴V ( x) 负半定 V ( x) < 0 其它: . x1 = 0 只有全零解 令 V ( x) ≡ 0 x2 = 0
.
x≠0
非零状态时 V ( x ) ≡ 0
.
原点 xe = 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2
则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
δ 时变： 与 t0 有关
定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。 δ 注意： ⋅ －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。
2.
渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定 2）lim x(t ; x0 , t0 ) − xe → 0
δ与t0无关 ⇒ 一致渐进稳定
3. 大范围内渐进稳定性 对 ∀x0 ∈ s (δ )
当δ 与 t0 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
ε 3. 不稳定性：不管 δ ， 有多小，只要 s (δ ) 内由 x0 出发的轨迹超出 s (ε )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
1.
4-3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x(t0 , x0 , t0 ) = x0 ⇒ 初态
3. 平衡状态：
xe = f ( xe , t ) = 0
（1）线性系统
xe → 系统的平衡状态
n
x = Ax x ∈ R
A 非奇异： e = 0 ⇒ xe = 0 Ax B 奇异：Axe = 0 ⇒ 有无穷多个 xe
（2）非线性系统
x = f ( xe , t ) = 0 ⇒ 可能有多个 xe
2 1 2 1 2 2
2 2
c1
c2
( x10 , x20 )
= c (c )
等能量轨迹(整个平面)
x1
[例2] 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
解：1)
x = x2 x 2 = − x1 − x2
. 1
.
x1 = 0 令 . x2 = 0
.
.
x1 = 0 x2 = 0
= −2 x
2 2
即原点是平衡状态。 2 设 V ( x ) = x12 + x2 则：V ( x ) =
A--非奇异矩阵 x = Ax xe = 0 为唯一平衡状态。
设选取如下的正定二次型函数V (x) 为李氏函数 . T V ( x) = x Px 将 x = Ax 代入： 则：
V ( x) = x Px + x P x = x ( A P + PA) x
T T T T
.
.
令 A P + PA = −Q ∴V ( x ) = − x Qx . 由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 V ( x ) 负 定)，则系统是大范围一致渐进稳定。 . 定理：系统 x = Ax 大范围渐进稳定的充要条 件为: 给定一正交实对称矩阵Q，存在唯一 T 的正定实对称矩阵P使 A P + PA = −Q 成 T 立，则 x Px = V ( x) 为系统的一个李氏函数。
.
线性系统不稳定 原点不稳定 非线性系统不一定 . V 推论1：当 V ( x, t ) 正定， ( x, t ) 正半定， . 且V [ x (t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不恒为零时,则 原点不稳定。 . 推论2：V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定，若 . x ≠ 0 ，V ( x, t ) ≡ 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
4-4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理： 设系统状ຫໍສະໝຸດ Baidu方程：x
= f ( x, t )
其平衡状态满足 f (0, t ) = 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe = 0 )，并设 在原点领域存在V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
定理1：若 (1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐进稳定的。 . 说明： ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 V 衰减。 定理2：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负半定； . (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐进稳定的。
2 1
x1 = x 2 = 0 x1 = x2 = 0 即 xe = 0
.
故 V ( x ) 正半定。 . 令 V ( x ) ≡ 0 ⇒ . x2 = 0, x1 = 0 即非零状态时， ( x )不恒为零，则原点不稳 V 定即系统不稳定。 推论1
.
4-5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为： .
.
[说明]： x ≠ 0 V ( x, t ) ≡ 0 系统维持等 能量水平运动，使 x (t ; x0 , t0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 正定 则原点是不稳定的。 . [说明]： V ( x, t ) 正定 能量函数随时间增 大， (t ; x0 , t0 ) 在xe 处发散。 x
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经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯 特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系 统) 1892年，俄国学者李雅普诺夫(Lyapunov)提出的稳 定性定理采用了状态向量来描述，不仅适用于单变 量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、 时变系统。
[例3]：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 .
x1 = kx2 (k > 0) . x 2 = − x1 . . 解：由于 x1 = x 2 = 0 x1 = x2 = 0
则原点是平衡状态 2 2 V (x) ⇒正（负）半定 设 V ( x ) = x1 + kx2 . 则 V ( x ) = 2 kx1 x 2 − 2 kx1 x 2 = 0 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 定理3
第四章
李雅普诺夫稳定性理论
本章～自学为主 教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念； 2.熟练掌握李氏第一法、李氏第二法； 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： 1 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造； 2 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别； 3 李雅普诺夫方程、渐近稳定性的分析与判别。
t →∞
δ →∞
都有 lim x(t ; x0 , t0 ) − xe → 0 t →∞
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
s (δ ) → ∞,
x → ∞ ⇒ xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必 是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
x = Ax x(0) = x0 t ≥ 0
李氏稳定的充要条件：
Re(λi ) ≤ 0
i = 1,2,
n
即系统矩阵A的全部特征值位于s复平面左半 部。
2. 非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开 成台劳级数，可用线性化系统的特征值判 据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。 设非线性系统状态方程：
x = f (x) f (x) --非线性函数 在平衡状态 xe = 0 附近存在各阶偏导
数，于是：
∂f x = f ( xe ) + T ∂x
其中：
⋅ ( x − xe ) + g ( x)
x = xe
g (x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
⎡ ∂f1 ⎢ ∂x ∂f ⎢ 1 =⎢ T ∂x ⎢ ∂f n ⎢ ∂x1 ⎣ ∂f1 ∂x2 ∂f n ∂x2 ∂f1 ⎤ ∂xn ⎥ ⎥ ⎥ ∂f n ⎥ ∂xn ⎥ ⎦