高二数学选修1、2-3-1抛物线及其标准方程

2.3.1抛物线及其标准方程

一、选择题

1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )

A ．直线

B ．抛物线

C ．圆

D ．双曲线 [答案] A

[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．

2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )

A.⎝⎛⎭⎫32

，±62 B.⎝⎛⎭⎫74，±72 C.⎝⎛⎭⎫94

，±32 D.⎝⎛⎭⎫52，±102 [答案] B

[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14

＝2， ∴x 0＝74，∴y 0＝±72

. 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )

A.18

B ．－18

C ．8

D ．－8 [答案] B

[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1a

y ，其准线为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a

，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

[答案] B

[解析] 本题考查抛物线的定义．

由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.

5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是

( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．以上答案都有可能

[答案] B [解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．

6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )

A ．y 2＝12x

B ．y 2＝－12x

C ．x 2＝12y

D ．x 2＝－12y [答案] C

[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．

7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )

A ．有且仅有一条

B ．有且仅有两条

C ．有无穷多条

D ．不存在 [答案] B

[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．

因为焦点坐标为(1,0)，

设直线方程为y ＝k (x －1)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5， ∴k 2＝43，即k ＝±233

. 因而这样的直线有且仅有两条．

8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )

A ．20

B ．8

C ．22

D ．24

[答案] A

[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，

∴|PF |＝x 0＋p 2

＝20. 9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )

A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.14 3

[答案] B

[解析] p 2＝c ＝32

，∴p ＝ 3. 10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )

[答案] D

[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2

＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b >1a

>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．

解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，

即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.

二、填空题

11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.

[答案] 4或8

[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2

，圆心坐标为(－3,0)，半径为1， 由题意知3－p 2＝1或p 2

－3＝1，∴p ＝4或p ＝8. 12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．

[答案] y 2＝8－8x

[解析] 设动点坐标为(x ，y )，

由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，

化简得y 2＝8－8x .

13．以双曲线x 216－y 2

9

＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．

[答案] y 2＝－20x

[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，

又p ＝10，∴y 2＝－20x .

14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2

＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．

[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.

∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12

， x 216－y 29

＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12

. |3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78

， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，138、⎝⎛⎭⎫12，78.

三、解答题

15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．

[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6，

∴设点M 的坐标为(x,6)．

∵点M 到准线的距离为10，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1p ＝18， 故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x .

当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .

16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝y 2－8.

(1)求动点P 的轨迹方程．

(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．

求证：OC ⊥OD (O 为原点)

[解析] (1)由题意可得P A →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8

化简得x 2＝2y

(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)

整理得x 2－2x －4＝0