第四章 喷管

由气动力函数关系，可得：
2k V= R 0 −π ( λ) T 1 k −1
k 2k 令 F = 1−π ( λ) V k −1 k− 1
k− 1 k

，称为流速函数，则 ，称为流速函数，则
V = RT0 ⋅ F (ζ , γ ) V
当 ζ=ζe ， 称为排气速度，即 V = RT ⋅ F (ζe , k) e 0 V
M>1 dA>0
V增大 p减小
超声速区 亚声速区
M>1 M=1
M<1
扩张管道中的流动变化
拉瓦尔喷管原理图
（2）喷管截面变化对其他参数的影响
条件 变化方向 参数 dp/p dρ/ρ dT/T dV/V dM/M 收敛管道dA<0 M<1 <0 <0 <0 >0 >0 M>1 >0 >0 >0 <0 <0 扩张管道dA>0 M<1 >0 >0 >0 <0 <0 M>1 <0 <0 <0 >0 >0
由上表可得出如下基本规律： 压强（或密度）的变化方向与流速变化方 向总是相反的。故可将流动分为两 类：膨胀（dp<0）加速(dV>0)流动和压缩 （dp>0）减速(dV<0)流动，对应的管道 分别称为收敛与扩张管道。 截面积增大(dA>0)和截面积减小(dA<0)对 气体流动参数变化的影响正好相反。 亚声(音)速流(M<1)和超声速流(M>1)对流 动参数变化的影响正好相反。
V2 + H) = 0 d( 2
上式表明在一维定常绝能流动中，气体的焓 和动能可以互相转 换，但其总和保持不变。此式对有无磨擦的 情况都是适用的。
（4）补充方程
状态方程： 等熵方程：
p = ρRT
p
ρk
= Const 或
dp dρ =k p ρ
故完全气体在喷管中的一维定常等熵流动的控制方程为：
o s m V & = ρ A= C n t d p+ ρ d V V =0 V2 o s H+ =C n t 2 p = ρR T ρ p d d =k ρ p
2 k +1 2 ζ = 2
k
1 k−1
k −1 k +1
k+ 1 k
π (λ)
1.0
亚音速
π ( λ) −π ( λ)
•
κ=1.25
0.5
超音速
通常我们更感兴趣的是 它的反函数，即压强比对直 径比的函数关系，在K一定条 件下其关系曲线如右图。
0 1.5 2.0 2.5 3.0
（4）外界反压对喷管流动的影响 拉瓦尔喷管是亚声速流连续膨胀加速到超声速流的几何条件， 但它仅是一个必要条件；为了实现亚声速流向超声速流的连续变化， 还必须满足力学条件：喷管两端必须保持一定的压差。 下面分析外界反压（外界环境压 强Pa）对喷管流动的影响。燃气在喷 管中流动会出现以下几种状况：
p0 pe pa pe pa
V A
由动量方程：
d ρ
M2
ρ V d d + =0 V ρ
两式消去
V d A ，得： M2 −1 d = ρ V A
(
)
A (M −1) dV = dA V
2
喉部
M＜1 dA＜0
V增大 p减小
M＞1 dA＜0
V减小 p增大
收敛段 进口截面
扩张段
收敛管道中的流动变化
M<1
M＜1 dA>0
V减小 p增大
ρ dV + dp = 0 V
即作用在所取微元体内气体上的力应等于单位时间气体沿力 的方向上动量的变化。上式的负号表示动量的增量和力的增量正 好相反。
（3）能量方程 喷管中燃气能量方程为
V2 + Ic ) = 0 d( 2
对于组分和比热不变的完全 气体，其化学能不再变化，因此 可用物理焓H的变化来代替总焓 的变化，于是能量方程可写成
第四章 燃气在喷管中的流动
一、喷管理论 二、喷管内燃气流动的参数计算
• 喷管是火箭发动机的一个重要部件，它的主要功能有三个： • • • • • 通过喷管喉部面积的大小控制燃气的流量，使燃烧室内的燃气保 持预定的压强，确保装药正常燃烧； 使推进剂燃烧产物通过喷管膨胀加速，将其热能充分转换为燃气 的动能，从而使发动机获得推进动力—推力； 在导弹发动机中通过喷管实施推力大小和方向的调节与控制。 目前火箭发动机中最常用的是几何喷管，它是依靠喷管本身特殊 的几何形状来实现以上功能的。 本章主要讨论燃气在几何喷管中流动的基本规律，它是研究火箭 发动机性能参数的主要理论基础。
• 过膨胀状态 pe<pa 此时喷管内气流处于膨胀过度状态，出口截面外形成弱的斜激 波，并随Pa的增大激波角也在增大，当Pa=Pa1时，形成正激波，此 激波 时Pe与Pa1之间的关系为：
k +1 2 λ −1 pa1 k −1 e = k +1 2 pe −λe k −1
或
k +1 2 λe −1 pa1 k −1 =πe ⋅ k +1 2 p0 −λe k −1
• 5. 质量流率 • 若喷管喉部未达到临界状态，则质量流率公式为：
p p0 ⋅ p0 p 2k & m = ρVA= ⋅ λa* ⋅ A = RT0 ⋅ A ⋅λ T RT k +1 RT0 ⋅ T0 p0 ⋅π ( λ) p0 A π ( λ) 2k 2k Γp0 Aq( λ) RT0 ⋅ A= = ⋅λ ⋅ ⋅λ = RT0 ⋅τ ( λ) k +1 k +1 RT0 τ ( λ) RT0
ζ =
d dt
de dt
扩张比：喷管出口截面的直径与喷喉直径之比
ζe =
面积比：喷管任一截面的截面积A与喷喉截面积At之比
A d ζ 2 = = A dt t A A 1 1 q(λ) = t = 2 q(λe ) = t = 2 A ζ A ζe e
2
而
该式把气流速度与喷管几何形状（面积比/直径比）联系起来了。
dx ∂ρ ∂A ∂V (ρ + dx )( A + dx )(V + dx ) dt ∂x ∂x ∂x
（2）动量方程
d d A 2 ( p + ρA A V )= p 将 化 , 简 d x d x & V o st 可 并 入 m = ρA = C n 引 得 &d m V = −A p d 或
思考： 拉瓦尔喷管内流动参数的变化规律？ 什什么是拉瓦尔喷管？ 么是最佳膨胀、欠膨胀、过膨胀？ 喷管获得超声速流动的条件是什么？
二、 喷管内燃气流动的参数计算
前面介绍了燃气在喷管中流动的基本理论， 这里讲解拉瓦尔喷管中气流参数沿轴向的分 布规律及特性。 1. 面积比和扩张比
直径比：喷管任一截面的直径与喷喉直径之比
排气速度是衡量火箭发动机性能高低的一个重要参数。影响 排气速度的因素如下： (1) 推进剂性质的影响（R、T0、k） 推进剂性能主要通过燃气的气体常数、燃气温度和比热比等 参数来影响排气速度，主要影响因素是RT0。由火药力的换算值 f0=RT0 及 R=R0/M （R0为通用气体常数，其值为8314.5J/kmol.K） 可知，提高推进剂能量的主要途径是提高燃烧温度、减小燃气摩 尔分子量或增加燃气的比容。 (2) 燃气膨胀程度的影响（FV、ζe、 γ） 燃气在喷管中作膨胀加速流动，因此压强比越小，表征燃气 在喷管中膨胀越充分，故排气速度越大。故增大喷管的扩张比是 减小压强比，提高燃气膨胀程度，增大排气速度的有效措施。但 应注意扩张比太大会使喷管长度及重量增大，燃气与喷管壁面的 磨擦和散热损失增大，对于中小型发动机常用的扩张比常为2-3。
式中
2 Γ= k ⋅ k +1
k+1 2( k−1)
• 若喷管喉部达到临界状态，则质量流率公式为：
由图可知π (λ)是 ζ 的双值函数， 对于给定的值，在亚声速区和超 声速区均有一个值与之对应。
• 4. 排气速度 由能量方程 ：
2k T 2k V = 2( H0 − H) = 2cp (T0 −T) = RT0 1− = RT0 [1−τ(λ)] k −1 T0 k −1
进口截面 出口截面 • 欠膨胀状态 pe>pa 此时喷管内气流能不断膨胀加速，在喉部达到临界状态，出 口截面获得超声速流，pa不会影响喷管内部流动，此时喷管处于 膨胀不足状态。 • 最佳膨胀状态 pe=pa
当pa逐渐升高到出口截面处的压强Pe时，喷管内气流得到充 分膨胀、加速，此时的状态是最佳膨胀状态。
根据定常流动的假定，且由于 喷管内无燃气生成，则通过流动通 道各截面处气体的质量流量均相 等，故有
& m: 气 的 量 量 k / s 体 质 流 , g
& m = ρVA = Const
m 在dt时间内, 气流迁移使 微元体产生的质量变化量 . . m
在dt时间内,微元 体中质量的变化量
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∂ (ρ A d x )d t ∂ t
p0
pe pa1
当反压继续增大时，激波向喷管 内移动，此时喷管内气流速度为亚声
进口截面
出口截面
激波位于喷管出口示意图
速（收敛段）—声速（喉部）—超声速（激波前）—亚声速（激波 后），排气面压强为Pe=Pa。反压再增大，喷管内正激波移至喉部， 此时喷管内气流速度为亚声速（收敛段）—声速（喉部）—亚声速 （扩张段）。以后反压再增大，则整个喷管内全为亚声速流，喉部 达不到声速，因而不再是临界截面，此时反应变化引起的扰动传入 喷管，影响喷管内的流动状态。
3. 拉瓦尔喷管的理论基础 几何喷管是依靠通道截面积变化使燃气膨胀加速， 以将燃气热能转换为动能。因此，研究燃气在喷管 中的流动特性就是研究在一维定常等熵流动条件下， 通道截面积的变化对燃气流动特性的影响。从而得 到燃气流动参数沿喷管轴线的分布规律。 （1）喷管截面变化对流速的影响
ρ 由连续方程： d + dV + dA = 0 ρ
• • • • • • • • • • • • •
1. 流动假设 实践证明，燃气在喷管中的流动可简化为理想气体的一维定 常等熵流动问题来考虑，其具体假设条件为： 由于燃气的轴向流动速度分量大大地超过横向流动速度，认 为喷管横截面上的气动参数（速度、压强、密度和温度）的分布 是均匀一致的，可按喷管横截面上的平均值表示，且其值不随时 间变化； 燃烧产物为均质的、组成不变的理想气体； 燃气在喷管中为绝热、无磨擦的等熵流动。 根据以上假设条件，在喷管通道内，沿x轴取dx段微元体来 建立流动的基本方程。在x与x+dx处燃气压强、密度、温度、速 度与截面积分别用 表示。
1.0
0.8
0.6
0.4
T/T0
ρ/ρ0
0.2
p/p0
0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
M
（3）喷管流动的壅塞
从前面分析得知，亚声速流动在收 敛管道（dA<0）中将膨胀加速（dV>0）。 当亚声速流动马赫数达到M=1时，如果管 道继续收敛，流动速度将如何变化？
M1=1
dA<0
M2=?
首先，假设流速减小，dM <0，则有M2<M1，即声速流减速到亚声速 流动。但亚声速流动在收敛管道中应是加速的，即dM >0，这与假设是矛 盾的。所以，流速不可能减小； 其次，假设流速增大，dM >0，则有M2>M1=1，即声速流加速到超声 速流动。但超声速流动在收敛管道中应是减速的，即有dM <0，这与假设 也是矛盾的。所以，流速也不可能增大； 那么能否维持M =1流动下去呢？这也是不可能的。因为截面积变化 是一个驱动势，是物理要求，在其作用下流动参数必然发生变化。 由此可见，在收敛管道中，一维定常等熵流动的流速只能连续变 化到M =1，即达到临界状态，这是它的极限。在此之后，流速既不可能 增大，也不可能减小，这种现象称为流动壅塞（Choking）。
• 2. 参数计算的一般步骤 由控制方程，可得（即气体动力学函数）
T k −1 2 =τ ( λ) =1− λ T0 k +1
ρ k −1 2 =ε ( λ) = 1− λ ρ0 k +1
q(λ) = 1
p k −1 2 =π ( λ) = 1− λ p0 k +1
k k−1
1 k−1
2k V = λa* = λ RT 0 k +1
气体动力学函数
因此，参数计算的一般步骤为：
ζ2
ζ
T T0 p p0
2
λ
ρ ρ0
• 注意：一定的ζ或ε由q(λ)表可得到两个速度系数， 其它参数也均有两个相应的解，分别是亚声速解及超 声速解。
V
• 3. 压强比 • 将喷管的面积比直接表示为压强比的函数，在应用上极为 方便，为此根据气体动力学函数关系，可有：