自适应格型滤波器解读

(e
i
i f ( 1) 2 p 1
) (e
)
①
b e0f (i ) e0 (i ) x( j );
ˆ： 由①式得到 k 1
f e 1 (i ) ˆ ˆ k1 b k 2 e1 (i )
缺点：从低阶算起，要求较大的存储，计算延 迟较大。
36
3. 梯度算法计算反射系数，减少运算量，适合 非平稳情况
kp
f (n) b ( n 1) 2 E[e p e 1 p 1 ] f (n) 2 b ( n 1) 2 E[(e p ) ] E [( e 1 p 1 ) ]
35
用时间平均代替：

kp
2 e
f (i ) p 1
e
i
b ( i 1) p 1 b ( i 1) 2 p 1
b p 2 f p 2
19
结论：前向、后向预测误差的最小功率相等， 系数也相等，如果是复数，则是共轭关系。
p Eb ( z ) p k H b ( z) z a pk z p z p (1 z k a pk ). X ( z ) k 0 k 0
与 H f ( z ) 比较
k 1
p
9
③,④构成Yule—Walker方程，根据
f 2 E [( e ( n )) ]min rxx (l ),l 0,1, , p ,可以求出 p
及， ap,k , k = 1,2,鬃 鬃 p
10
2. 后向预测误差滤波器
11
x(n p), , x(n 1)
b p
x(n p) apk x(n p k )
k 1
p
apk x(n p k )
k 0
p
⑤
15
后向预测误差均方值 E[(ebp (n))2 ] 取得最小值， 应满足：
¶ E[(e (n)) ] ¶ a pk
b p
2
= 2鬃 E[eb p ( n) x ( n - p + l )] l = 1, 2, 鬃 鬃 ?p
n－1
n
n+1
f p
xn H f z e n
4
已知 x(n 1), x(n 2), , x(n p)，信号是实的，
e p (n), a p ,k 为实数
ˆ (n) a p ,k x(n k ) 预测： x
k 1 p
前向预测误差:
f ˆ(n) x(n) a p ,k x(n k ) ep (n) x(n) x k 1 p
k 1 p
rxx (0) a pk rxx (k )
k 1
p
⑧
⑦,⑧ 构成了Yule-Walker方程。
18
将③式与⑦式比较，得到：
a pk a ；k 1,2, , p.
/ pk
将④式与⑧式比较，得到：
E[(e (n)) ]min E[(e (n)) ]min
2 k p 1 (n) k p (n) kp [(e pf (n)) 2 (eb ( n )) ] p
其中
kp [(e (n)) (e (n)) ]
f p 2 b p 2 b f ＝2[e pf (n) eb ( n 1) e ( n ) e p 1 p p 1 ( n )]
a pk a p 1,k akk a p 1, p k
2 p
22
二．格型滤波器
23
1. 由预测误差滤波器 导出格型滤波器
24
e pf (n) x(n) a pk x(n k )
k 1
p
e p 1 (n) x(n) a pk x(n 1)
①
5
前向预测误差滤波器
H f z
p
E z X z
f p
1 a p ,k z
k 1 k
p
k
a p ,k z
k 0
a p,0 1
（全零点滤波器)
6
前向预测误差滤波器的最佳权系数
满足：
f 2 E[(e p (n)) 2 ]
2a p ,l
f p
0；l 1,2,
§3.3 自适应格型滤波器
1
优点
自适应收敛速度快，滤波器的阶数易改 变，在变化的环境下可动态选择最佳的阶 数。 权系数对寄存器有限长度效应不敏感；
模块式结构，便于高速并行处理；
滤波器前后级之间不存在耦合效应。
2
一、前后向线性预测 误差滤波器
3
1.
前向线性预测误差滤波器
x(n 1), x(n 2), , x(n p)
p ,p
②
E[2e (n) x(n l )] 0；l 1,2,
7
将①式代入②式：
E[( x(n) a p1k x(n k )) x(n l )]
k 1
p
rxx (l ) a p1k rxx (k l ) 0；l 1,2,......, p
b p k 1
p
b e ∴ p 1 (n 1) x(n p) a pk x(n p k ) k 1
p 1
将上式代入③式得：
e (n) e
f p
f p1
(n) k p e
b p1
(n 1)
②
28
同理可得：
b f eb ( n ) e ( n 1 ) k e p p1 p p1 (n)
k 1
p
③
8
E[(e (n)) ]min E[(e (n) ( x(n) a p ,k x(n k ))]
f p 2 f p k 1
百度文库
p
E[e pf (n) x(n)] E[ a p ,k x(n k ) x(n)]
k 0
p
④
rxx (0) a p ,k rxx (k )
⑥
16
将⑤式代入⑥ 式：
rxx (l ) a /pk rxx (k l ) 0
k 1
p
⑦
17
2 b E[(eb ( n )) ] E [ e p min p ( n) ( x ( n p ) a pk x ( n p k ))] k 1
p
E[eb p ( n ) x ( n p )] E[( x(n p ) a pk x(n p k )) x (n p )]
k 1
p 1
①
25
令 k p a pp
a p ,k a p 1,k a pp a p 1, p k a p 1,k k p a p 1, p k
将上式代入①式，得：
e (n) x(n) a p ,k x(n k ) a pp x(n p)
H b ( z)
ˆ n x
n
n+1
n+p
ˆn x 已知 x(n 1), x(n 2), x(n p). ，预测
预测误差：
ˆ(n) e (n) x(n) x
b p
12
原理解释
已知
x(n p 1), x(n p 2), x(n)
n-p n-p+1
n
13
收敛速度
， 独立调节各级
31
2. 平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征
信号模型系数 自相关函数 Yule--Walker方程 3.前向预测误差滤波器是最小相位滤波器；后向预
测误差滤波器是最大相位滤波器。
32
三．最小均方差自适 应格型滤波器
33
1. 信号数据 估计自相关函数 L-D递推算出 k p
Hb ( z) z p H f ( z 1 )
(全极点网络)
20
3．Levinson—Durbin算法
21
计算Yule—Wrlker方程组。采用递推的方法。
2 E[ x 2 (n)] K＝1 0
求解Yule－Walker方程
2 a , 求得 kk k
K＝k+1
p 1 [ rxx ( k ) a p 1,k rxx ( p k )] k 1 akk 2 k 1
f p k 1 p 1
x(n) [a p1,k k p a p1, pk ] x(n k ) a pp x(n p)
k 1
p 1
x(n) a p1,k x(n k ) k p [ a p1, pk x(n k ) x(n p)]
37
③
f b p 0 ， e ( n ) e 对于 0 0 (n) x(n)
29
格型滤波器的性质
30
1. 各阶后向预测误差相互正交。
E[eib (n) eb ，i j. j (n)] 0
b i j ， e 2. 解释：设 j (n)
与正交。
不同 意义：前后级解耦。系统最优 各级最优
k 1 k 1
p 1
p 1
26
将②式代入：
f f ep ( n) e p 1 ( n) k p [ x( n p ) a p 1, k 1 x( n k )] k 1 p 1
其中，令p k k
x(n p ) a p 1, p k x(n k )
2. 直接利用信号数据。
34
原则：前后向预测误差功率的和为最小。
f b f 2 ep ( n) e b ( n 1 ) 2 e ( n ) e p 1 p p 1 ( n) f 2 E[(e p (n))2 (eb ( n )) ] p
k p
0
f (n) b ( n 1) b ( n 1) b ( n 1) f (n) f (n) [e p k e ] e [ e k e ] e 1 p p 1 p 1 p 1 p p 1 p 1 0
ˆ(n p) ， 预测误差： 预测 x
ˆ eb p ( n) x ( n p ) x ( n p ) ˆ (n p ) a 'pk x(n p k ) x
k 1 p
14
后向预测误差
ˆ (n p) e ( n) x ( n p ) x
k 1 p 1
③
x( n p ) a p 1,k x(n p k )
k 1 p 1
p 1
x( n p ) a p 1, p k x(n k )
k 1
27
∵
e ( n) x ( n p ) a p , k x ( n p k )