第8、9讲、一维原子链振动及声子的概念

正则动量
30
系统的哈密顿量为： 系统的哈密顿量为： 系统能量本征值计算 系统薛定谔方程
ˆ Hψ (Q , ⋯Q N ) = E (Q , ⋯Q N ) ψ 1 1 3 3
正则动量算符
31
1 ∂2 2 2 2 任意一个简正坐标 [−ℏ +ωi Qi ]ϕ(Qi ) = εiϕ(Qi ) 2 2 ∂Qi
4
1)、运动方程 、
每个原子质量m，平衡时原子间距a 一维无限原子链 —— 每个原子质量 ，平衡时原子间距 —— 原子之间的作用力 第n个原子离开平衡位置 个原子离开平衡位置 的位移 个原子和第n＋ 个原 第n个原子和第 ＋1个原 个原子和第 子间的相对位移
个原子和第n＋ 个原子间的距离 第n个原子和第 ＋1个原子间的距离 个原子和第
3)、玻恩－卡门(Born-Karman)周期性边界条件 、玻恩－卡门 周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的， 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长， 链两头的 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长， 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2π
λ
—— 格波和连续波具有完全类似的形式，区别在于 x 和 na 格波和连续波具有完全类似的形式， —— 而 na 是一系列周期排列的点。 是一系列周期排列的点。 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 ω 的振动
9
µn = Aei(ωt−naq)
—— 格波的波形图
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 简谐近似下，
7
方程解和振动频率
设方程组的解 naq — 第n个原子振动位相因子 个原子振动位相因子
得到
2β 4β 2 aq ω = [1 − cos(aq)] = sin ( ) m m 2
2
8
2)、格波 、
µn = Ae
格波的波速
i (ωt −naq)
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 一维简单晶格中格波的色散关系， 格波的意义 连续波 传播数 q =
2
第八、 第八、九次课 一维单原子链的晶格振动及声子概念
内容
1、绝热近似 、 2、格波的研究 、 1)、运动方程； 、运动方程； 2)、格波：频谱、布里渊区 、格波：频谱、 3)、边界条件 、 4)、格波的色散关系 、 5)、长波极限和短波极限 、 3、声子 、
3
1、绝热近似 —— 离子实比价电子质量大得多，因而运动相对 、 离子实比价电子质量大得多， 电子来说很慢； 电子来说很慢； 单独研究晶格振动时， 单独研究晶格振动时，用一个均匀分布的负电荷产生的常量势 场来描述电子对离子运动的影响， 场来描述电子对离子运动的影响，即晶格格点在均匀的负电场 中。 —— 将电子的运动和离子的运动分开 2、格波的研究 、 ——晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 晶格具有周期性， 晶格具有周期性 晶格的振动具有波的形式_____格波 格波 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 根据牛顿定律写出原子运动方程，
14
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 个原子头尾相接形成一个环链， 个原子头尾相接形成一个环链 特点
N很大，原子运动 很大， 很大 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
15
设第n个原子的位移 设第 个原子的位移 再增加N个原子之后， 再增加 个原子之后，第N+n个原子的位移 个原子之后 个原子的位移 则有 要求
29
系统的哈密顿量
2 2 1 2 ɺ H = T +U = ∑( Qq + ωq Qq ) 2 q
Qq = NmAqe
iωqt
—— 系统复数形式的简正坐标
考虑到位移的矢量性(在 个方向上都有分量 个方向上都有分量)， 考虑到位移的矢量性 在3个方向上都有分量 ，系统的哈密顿 量为： 量为：
拉格朗日函数
20
长波极限情况 长波极限情况 格波传播速度
c=
βa
ห้องสมุดไป่ตู้m/a
=
K
ρ —— 链的伸长模量
υ Elastic = K / ρ
—— 密度
连续介质弹性波相速度
—— 连续介质的弹性模量和介质密度 —— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 长波极限下， —— 晶格可以看成是连续介质
21
长波极限下 相邻两个原子之间的位相差为： 相邻两个原子之间的位相差为：
5
平衡位置时， 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
振动很微弱，是小振动， 振动很微弱，是小振动，势能展式中只保留到二阶项 ——称为简谐近似； 称为简谐近似； 称为简谐近似 处理小振动多采用简谐近似； 处理小振动多采用简谐近似； 在有些物理问题中要考虑高阶项的振动，称为非谐振动 非谐振动。 在有些物理问题中要考虑高阶项的振动，称为非谐振动。 相邻原子间的作用力
25
原子位移
原子位移为实数: 原子位移为实数 线性变换系数： 线性变换系数： —— N项独立的模式 项独立的模式
—— 证明见 证明见P89底部 底部 —— 说明变换系数具有正交性
26
动能的简正坐标表示
1 ɺ (q) 2 T = ∑Q 2 q
27
势能的简正坐标表示
28
于是系统势能变为
2 1 2 U = ∑ωq Qq 2 q
1
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 晶格振动是一种典型的小振动问题。 晶格振动是一种典型的小振动问题。 可以只考虑最近邻原子之间的相互作用 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立的简谐振动哈密 简谐近似下， 顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 这些模式是相互独立的， —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 这些谐振子的能量量子， —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
能量本征值 本征态函数
1 εi = (ni + )ℏωi 2
—— 谐振子薛定谔方程
ϕn (Qi ) =
i
ωi
ℏ
exp(−
ξ2
2
)Hni (ξ)
— 厄密多项式
32
能量本征值 本征态函数
1 εnq = (nq + )ℏωq 2
ϕn (Qq ) =
q
ωq
ℏ
exp(−
ξ
2
2
)Hnq (ξ )
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐 一个简正坐标对应一个谐振子方程， 标为宗量的谐振子波函数 晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子， 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
34
2π 每个波矢在第一布里渊区占的线度 q = Na
第一布里渊区的线度 2π
a
第一布里渊区状态数
2π / a =N 2π / Na
17
4)、格波的色散关系 、
aq ω = 2 sin( ) m 2
频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性
18
β
色散关系 频率极小值 频率极大值
—— q空间的周期 空间的周期
6
原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第 n 个原子受到的作用力 只考虑相邻原子的作用，
第n个原子的运动方程 个原子的运动方程
d 2µn m 2 = β (µn+1 + µn−1 − 2µn ) dt (n = 1, 2, 3⋯, N)
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
33
晶格振动 —— 声子体系 —— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 声子是一种元激发， —— 声子具有能量 动量，看作是准粒子 声子具有能量_动量， 动量 —— 晶格振动的问题 ⇒ 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统 预告：接下来的内容： 预告：接下来的内容：三维晶格振动 课外阅读： 课外阅读：§11-2
—— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动 原子沿 轴向左振动
10
格波 格波波长
格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 相邻原子的位相差
11
格波 波矢的取值和 波矢的取值和布里渊区 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 波矢 格波 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 波矢 格波 相邻原子的位相差
第三章 晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质 固体热容量 —— 热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆－ 杜隆－珀替经验规律 —— 一摩尔固体有 个原子，有3N个振动自由度，按能量均 一摩尔固体有N个原子 个原子， 个振动自由度， 个振动自由度 分定律，每个自由度平均热能为kT， 分定律，每个自由度平均热能为 ，摩尔热容量 3Nk＝3R ＝ —— 实验表明在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 实验表明在较低温度下， 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、 导电性、磁性、结构相变有密切关系
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 一个波长内包含许多原子，
22
格波在短波极限的情况 格波在短波极限的情况
短波极限下
—— 相邻两个原子振动的位 相相反
23
3、声子 、
δ = µn+1 − µn
出现交叉项
由于周期性的边界条件， 取分立的不同值， 由于周期性的边界条件，波矢 q 取分立的不同值，所以晶格中 每一原子的振动是一些独立振动模式的迭加。 每一原子的振动是一些独立振动模式的迭加。 个格波引起第n个原子位移 第 q 个格波引起第 个原子位移 第 n 个原子总的位移
ωmin = 0
ωmax = 2 β /m
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播， 之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
19
5)、格波在极限的情况 、 长波极限情况 长波极限情况
当
ω =υElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
12
—— 两种波矢的格波中，原 两种波矢的格波中， 子的振动完全相同 于是， 出现了限制， 于是，对 aq 出现了限制，即：
波矢的取值
−
π
a
<q≤
π
a
—— 第一布里渊区
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
13
2π q= ×h —— h为整数 为整数 Na
波矢的取值范围
N N − <h≤ 2 2
16
N N − <h≤ 2 2
2π ×h 波矢 q = Na
h — N个整数值，波矢 —— 取N个不同的分立值 个整数值， 个整数值 波矢q 个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含 个状态 第一布里渊区包含N个状态
24
令
简正坐标
1 −inaq m µn = ∑ ( )e Qq (q) N q
令
3N 3N
mµn = ∑anjQj
j =1
完成了从原子坐标到简正坐标的变换 线性变换系数—— 线性变换为么正变换 线性变换系数 简正坐标Q 则包含了格波的振幅和时间位相部分 则包含了格波的振幅和时间位相部分。 简正坐标 q(q)则包含了格波的振幅和时间位相部分。