知识讲解 函数模型的应用举例 基础

函数模型的应用实例

【学习目标】

1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.

2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他中的应用.

3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.

【要点梳理】

【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】

要点一：解答应用问题的基本思想和步骤

1.解应用题的基本思想

2.解答函数应用题的基本步骤

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.

上述四步可概括为以下流程：

实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解

数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答).

要点二：解答函数应用题应注意的问题

首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符语言、图形语

言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题

目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理

解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有

些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.

其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符、关系符”表达出

来，建立函数关系. 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程

中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般

的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻

合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也

要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对

那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应

关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解

为止，此时切忌草率.

【典型例题】

类型一、已建立函数模型的应用题

例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲

座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，

随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生掌握和接受概念

的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：

20.12.643, (010)()59, (1016)3107, (1630)xxxfxxxx?????????????????．

问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

【答案】开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．

【解析】当0＜x≤10时，

f (x)=―0.1x2+2.6x+43=―0.1(x―13)2+59.9，

可知f (x)在（0，10）上单调递增，故其最大值为

f (10)=―0.1×(―3)2+59.9=59．

显然，当16＜x≤30时，f (x)递减，

f (x)＜－3×16+107=59．

因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．

【总结升华】（1）解决分段函数模型问题的关键在于“分段归类”，即自变量属于哪一

段就选用哪段的函数【解析】式来分析解决问题．（2）求解“已建立数学模型”的应用

问题关键是抓住已建立的函数模型，选择合适的方法求解建立的数学模型．注意一定要

“读”懂模型．

例2.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每

生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生

产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）

满足20.44.2(05)()11,(5)xxxRxx?????????，假定该产品产销平衡（即生

产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入－总成本）；

（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

【思路点拨】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由

20.44.2(05)()11,(5)xxxRxx?????????，f（x）=R（x）－G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．

（2）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数2()0.4(4)3.6fxx????，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．

【答案】（1）20.43.22.8(05)8.2(5)xxxxx??????????；（2）400

【解析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．

∵20.44.2(05)()11,(5)xxxRxx?????????，

∴20.43.22.8(05)()()()8.2(5)xxxfxRxGxxx?????????????．

（2）当x＞5时，

∵函数f（x）递减，

∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．

当0≤x≤5时，函数2()0.4(4)3.6fxx????，

当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．

所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．

【总结升华】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

举一反三：

【变式1】设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=ce kx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）．【答案】0.943×105.

【解析】这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105Pa和x=1000 m时y=0.90×105

Pa可求．

将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=ce kx中，得

50510001.01100.9010kk cece??????????，∴5510001.01100.9010k cce?????????．将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，

∴10.90ln10001.01k??．

由计算器算得k=－1.15×10－4，

∴451.15101.0110x ye??????．

将x=600代入上述函数关系式得451.15106001.0110ye???????，