完全平方公式讲解

完全平方公式讲解

第一部分概念导入

1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；

2．学生计算

3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1

（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1

（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4

4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。

推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】

得到公式，分析公式

（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

（2）公式特征

左边：二项式的平方

右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．

注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．

（3）公式中字母可代表的含义

公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．

（4）几何解释

图1－5

图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．

【学习方法指导】

［例1］计算

（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2

点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2

注意：（2）中n 2的指数2与公式中b 2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”． ［例2］计算

（1）（－m －n ）2 （2）（－5a －2）（5a ＋2）

点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m 与－n 是同号，所以公式中的2ab 取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．

解：（1）（－m －n ）2

＝（－m ）2＋2·（－m ）（－n ）＋（－n ）2

＝m 2＋2mn ＋n 2

（2）（－5a －2）（5a ＋2）

＝－（5a ＋2）（5a ＋2）

＝－（5a ＋2）2

＝－（25a 2＋20a ＋4）

＝－25a 2－20a －4

小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算．

［例3］计算

（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）

（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）

点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m －n 与m ＋n 相乘，再将所得结果m 2－n 2与中间括号里的m 2－n 2相乘，可利用完全平方公式．

解：（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）

＝（x 2－4xy ＋4y 2）－（x 2－y 2）

＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2

＝－4xy ＋5y 2

（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）

＝（m －n ）（m ＋n ）（m 2－n 2）

＝（m 2－n 2）（m 2－n 2）

＝（m 2）2－2·m 2·n 2＋（n 2）2

＝m 4－2m 2n 2＋n 4

说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．

［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2

点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），将此题转化为平方差公式进行计算．

解法一：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2 ＝（x 2＋xy ＋42

y ）－（x 2－xy ＋42y ）

＝x 2＋xy ＋

42y －x 2＋xy －42y

＝2xy

解法二：

［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1）

点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a ＋b ）（a －b ）的形式，利用平方差公式进行简化运算．

关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！ 随堂练习

一、选择题

1．下列运算中，正确的是（ ）

A ．3a+2b=5ab

B ．（a －1）2=a 2－2a+1

C ．a 6÷a 3=a 2

D ．（a 4）5=a 9

2．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）

A ．（x+y ）2=x 2+y 2

B ．（x －y ）2=x 2－y 2