平口单峰函数(野猪吴剑)(1)

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”

吴剑（野猪）

2017.06.28

一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。

二：引理证明bug 修正。

下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。本文将给出一种极其简洁的做法及解释。 1.1

()4

2,(,),x x f x a b a b R +=++∈，

若对任意的[0,1]x ∈，1

|()|2

f x ≤都成立，则b=_____。 2.设函数4

()|

|f x ax x

=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。

3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得

0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。

4.已知函数2

()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，

(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。

5.已知2

()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。 6.设函数2

()|

|f x ax b x

=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

7.设函数2

()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。 8.已知函数1()||f x x ax b x =+

--，当1

[,2]2

x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

9.首相系数为1的二次函数2

()f x x px q =++中，找出使得2

max ||,1x 1x px q ++-≤≤ 取最小值时的函数表达式。

10.（09湖北压轴）在R 上定义运算bc b q c p q p 4))((3

1

+---

=⊗⊗：(b 、c 为常数).记c x x f 2)(21-=，b x x f 2)(2-=，R x ∈.令)()()(21x f x f x f ⊗=.

(Ⅲ)记()()(11)g x f x x '=-≤≤的最大值为M.若M ≥k 对任意的b 、c 恒成立，试求

k 的最大值.

11. ()ln(1)f x x ax b =+++，[0,1]x ∈，对于任意的,a b ，求|()|f x 最大值的最小值。 从浙江余姚的李旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感，现将解决方案整理如下。

弱弱的引理：若()f x 为[,]m n 上的连续单峰函数，且()()f m f n =，0x 为极值点，则

当k,b 变化时，()|()|g x f x kx b =--的最大值的最小值为

0|()()|

2

f n f x -.当且仅当

0()()

k 0,2

f n f x b +==

时取得。

这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是弱弱的写点废话证明一下。

不妨以00(,),(,)m x x n ↓↑为例.如图 下用反证法证明,km b kn b ++均等于0()()

2

f n f x +.

（1）若两者其一小于

0()()2f n f x +，不妨设0()()

2f n f x kn b ++<，

此时0()()

()()2

f n f x f n kn b --+>.矛盾.

（2）若00()()()()

,22

f n f x f n f x km b kn b +++≥+>

， 或00()()()(),22f n f x f n f x km b kn b +++>+≥

。则有00()()

2f n f x kx b ++> 此时000()()

()2

f n f x kx f x -->.矛盾.

所以0()()

2

f n f x km b kn b ++=+=，引理得证。

有个这个平口单峰函数，如8题这种“天然”平的那不是直接秒了？ 例1、题目8.已知函数1()||f x x ax b x =+

--，

当1

[,2]2

x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

惊喜的发现1x x +

在1

[,2]2

x ∈上已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运。 所以(,)M a b 的最小值为1

2

2

1224

+-=.（是不是很快很暴力）

BUT ，尴尬的是，除了8以外，其余各题除一次函数以外的部分都不是“平口单峰”函数.

下面以7来分析分析.

例2、题目7.设函数2

()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得

0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。