汉明码编码规则

计算机汉明码编码规则若编成的海明码为Hm，Hm-1…H2H1，则海明码的编码规律为：

(1)校验位分布：在m位的海明码中，各校验位Pi分布在位号为2^(i-1)的位置，即校验位的位置分别为1，2，4，8，…，其余为数据位；数据位按原来的顺序关系排列。如有效信息码为…D5D4D3D2D1，则编成的海明码为…D5P4D4D3D2P3D1P2P1。

(2)校验关系：校验关系指海明码的每一位Hi要有多个校验位校验，其关系是被校验位的位号为校验位的位号之和。如D1(位号为3)要由P2(位号为2) 与P1(位号为1)两个校验位校验，D2(位号为5)要由P3(位号为4)与P1两个校验位校验，D3(位号为6)要由P2与P3两个校验位校验，D4(位号为7)要由P1，P2，P3三个校验位校验，……。这样安排的目的是希望校验的结果能正确反映出出错位的位号。

(3)在增大合法码的码距时，使所有码的码距尽量均匀增大，以保证对所有码的校验能力平衡提高。

汉明距离

在一个码组集合中，任意两个码字之间对应位上码元取值不同的位的数目定义为这两个码字之间的汉明距离。即

d(x,y)=∑x[i]⊕y[i]，这里i=0,1,..n-1，x,y都是n位的编码，⊕表示异或

例如，(00)与(01)的距离是1，(110)和(101)的距离是2。

在一个码组集合中，任意两个编码之间汉明距离的最小值称为这个码组的最小汉明距离。

最小汉明距离越大，码组越具有抗干扰能力。

下面我们用d表示码组的最小汉明距离。

1。当码组用于检测错误时，设可检测e个位的错误，则

d >=

e + 1

设有两个距离为d的码字A和B，如果A出现了e个错误，则A变成了以A为圆心，e位半径的球体表面的码字。为了能够准确地分辨出这些码字既不是A也不是B，那么A误码后变成的球面上的点与B至少应该有一位距离（如果B在球面上或在球面内部则无法分辨出到底B是不是A的错误码），即A与B之间的最小距离d >= e+1。

2。若码组用于纠错，设可纠错t个位的错误，则

d >= 2t+1

设有码字A和B，如果A出现了t个错误，B也出现了t各错误，则A码变成以A为圆心，t 为半径的球面上的码字；B码变成以B为圆心，t为半径的球面上的码字。为了在出现t个错之后仍能分辨一个码字到底是属于A的错码还是属于B的错码，A,B为球心的两个球面应该不相交，即球心A，B之间距离应该大于2t，所以d >= 2t+1。

3。如果码组用于纠正t个错，检测e个错，则

d >= e+t+1, 这里e>t

这种检错纠错方式结合的情况同上述两个情况类似。当码字出现t个或者小于t个错时，系统按照纠错方式工作。当码字出现超过t个错而小于等于e个错时，系统按照检错方式工作；当A出现e个错，B出现t个错时，既要纠正B的错，又要发现A的错，则以A为球心，e为半径的球和以B为球心，t为半径的球应该不相交，所以A,B之间的距离应该大于等于e+t+1，即d>=e+t+1。

汉明码

汉明码是一种线性分组码。线性分组码是指将信息序列划分为长度为k的序列段，在每一段后面附加r位的监督码，且监督码和信息码之间构成线性关系，即它们之间可由线性方程组来联系。

这样构成的抗干扰码称为线性分组码。

设码长为n，信息位长度为k，监督位长度为r=n-k。如果需要纠正一位出错，因为长度为n的序列上每一位都可能出错，一共有n种情况，另外还有不出错的情况，所以我们必须用长度为r 的监督码表示出n+1种情况。而长度为r的监督码一共可以表示2^r种情况。因此

2^r >= n + 1，即r >= log(n+1)

我们以一个例子来说明汉明码。假设k=4，需要纠正一位错误，则

2^r >= n + 1 = k + r + 1 = 4 + r + 1

解得r >= 3。我们取r=3，则码长为3+4=7。用a6,a5,...a0表示这7个码元。用S1,S2,S3表示三个监关系式中的校正子。我们作如下规定（这个规定是任意的）：

S1 S2 S3 错码的位置

0 0 1 a0

0 1 0 a1

1 0 0 a2

0 1 1 a3

1 0 1 a4

1 1 0 a5

1 1 1 a6

0 0 0 无错

按照表中的规定可知，仅当一个错码位置在a2,a4,a5或a6时校正子S1为1，否则S1为0。这就意味着a2,a4,a5,a6四个码元构成偶校验关系：

S1 = a6⊕a5⊕a4⊕a2 (1)式

同理，可以得到：

S2 = a6⊕a5⊕a3⊕a1 (2)式

S1 = a6⊕a4⊕a3⊕a0 (3)式

在发送信号时，信息位a6,a5,a4,a3的值取决于输入信号，是随机的。监督为a2,a1,a0应该根据信息位的取值按照监督关系决定，即监督位的取值应该使上述(1)(2)(3)式中的S1,S2,S3为0，这表示初始情况下没有错码。即

a6⊕a5⊕a4⊕a2 = 0

a6⊕a5⊕a3⊕a1 = 0

a6⊕a4⊕a3⊕a0 = 0

由上式进行移项运算，得到：

a2 = a6⊕a5⊕a4

a1 = a6⊕a5⊕a3

a0 = a6⊕a4⊕a3

已知信息位后，根据上式即可计算出a2,a1,a0三个监督位的值。

接收端受到每个码组后，先按照(1)~(3)式计算出S1,S2,S3，然后查表可知错码情况。

例如，若接收到的码字为0000011，按照(1)~(3)计算得到：

S1 = 0, S2 = 1, S3 = 1

查表可得在a3位有一个错码。

这种编码方法的最小汉明距离为d=3，所以这种编码可以纠正一个错码或者检测两个错码。