区间直觉模糊数密度加权算子及其决策应用

区间直觉模糊数密度加权算子及其决策应用
杜迎雪;常娟;刘卫锋
【摘要】In multiple attribute decision-making when the attribute value is interval valued intuitionistic fuzzy numbers,we consid-er the density degree of attribute information distribution,the interval valued intuitionistic fuzzy set data clustering problem. We pro-pose new operator:linear interval valued intuitionistic fuzzy number density weighted averaging middle operator(IIFDWA)and the product of interval value intuitionistic fuzzy number density weighted averaging middle
operator(IIFDWGA),which is referred to as the interval valued intuitionistic fuzzy density operator. Finally,the IIFDWA operator and the WAA are applied to the multiple attribute group decision making problems.%在多属性决策中，当属性值为区间值直觉模糊数时，考虑属性信息分布疏密程度，研究了区间值直觉模糊集数据聚类的问题，提出了新的算子———线性区间值直觉模糊数密度加权平均中间算子（IIFDWA）和积性区间值直觉模糊数密度加权平均中间算子（IIFDWGA），统称区间值直觉模糊密度加权算子。

最后，将 IIFDWA 算子和 WAA 算子结合应用到多属性群决策问题中。

【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(028)003
【总页数】6页(P75-80)
【关键词】多属性决策;区间直觉模糊数;区间直觉模糊数密度加权算子;聚类
【作者】杜迎雪;常娟;刘卫锋
【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院，河南郑州 450015;郑州航空工业管理学院理学院，河南郑州 450015;郑州航空工业管理学院理学院，河南郑州450015
【正文语种】中文
【中图分类】C934
多属性决策是现代决策理论的重要组成部分，它在工程设计、经济管理、军事等诸多领域有着广泛的应用.信息集成算子是多属性决策研究的一个核心问题，许多学
者对其进行了深入研究.Yager[1]于1988年提出了有序加权平均(OWA)算子；Chiclana等[2]和Xu等[3]将OWA算子进行推广，提出了有序加权几何平均(OWGA)算子；陈华友等[4]提出了有序加权调和平均(OWHA)算子.但是，这些集
成算子没有考虑属性值分布的疏密程度.在多属性决策中，属性值分布是不均匀的，所以关注数据疏密程度的信息非常必要.为此，易平涛等[5-11]提出了实点型密度
算子、区间数密度算子、三角模糊数密度算子、直觉模糊密度算子、语言信息密度算子等其他密度算子,并将这些算子与AA算子、WAA算子、OWA算子、Min算子、Max算子等结合，应用到多属性决策中并取得了更好的决策结果.
在上述研究的基础上，继续研究区间直觉模糊数集的数据聚类问题，并提出了一种简单且有效的聚类方法.然后，提出了线性区间值直觉模糊数密度加权平均算子和
积性区间值直觉模糊数密度加权平均算子，统称区间值直觉模糊密度加权算子.将
线性区间值直觉模糊数密度加权平均算子和WAA算子结合，得到了一种信息集结算子——线性区间直觉模糊数密度加权算数平均算子 (IIFDWA).最后,将该算子应
用在多属性群决策中.
定义1[12] 设X为给定论域，则X上的区间值模糊集是一个映射X→Int([0,1])，这里Int([0,1])代表[0,1]上所有闭子区间的集合.
定义2 给定论域X，记={<x, A(x), A(x)>}为区间值直觉模糊集，这里 A和A为X上的区间值模糊集，并且.对于区间直觉模糊集中的元素简称区间直觉模糊数，记作[c,d]>，这里区间[a,b]和[c,d]为[0,1]的子集且b+d≤1.
论域X上所有区间值直觉模糊集记作IVFS(X).
定义3 设和为任意两个区间值直觉模糊数，规定下列运算规则：
.
定义4 设为区间值直觉模糊数，称为的得分函数.显然，[-1,1].
定义5 设为区间值直觉模糊数，称为的精确函数记.显然,[0,1].
定义6 设和为两个区间值直觉模糊数，对应的得分函数分别为和，精确函数分别为和,则和的比较规则如下：
当，则.当，若,则；若，则.
定义7 设=<[a,b],[c,d]>为区间值直觉模糊数,称)为的期望.其中，为区间值直觉模糊数的隶属期望，为记作区间值直觉模糊数1的非隶属期望，这里且.
定义8 设=<[a,b],[c,d]>为区间值直觉模糊数，称为区间值直觉模糊数的可能度.显然，.
下面将区间直觉模糊集的隶属度期望值和可能度进行聚类.
已知区间值直觉模糊数集m}，计算每个区间值直觉模糊数所对应的隶属度期望值和非隶属度期望值构成集合m}.
步骤(1)：令计数器r=0，A′=A.
步骤(2)：计算A′所对应的直觉模糊数集，选取中隶属度最小的元素记为, )，其可能度为=1- ，定义集合r}，其中，其对应期望，这里且满足，则令；若选不出元素，则转入步骤(3).
步骤(3)：令r=r+1，A′=A′-Cr-1，若A′=φ，则聚类结束，否则转入步骤(2).
密度权重反映了决策者对各组信息规模的偏好程度.文献[6]、[8]和[9]通过主观赋
权法或主客观相结合的方法来确定密度权重，下面提出一种密度权重客观赋权方法. 按照上面的聚类方法，设有m个区间直觉模糊数，共分成l组，分别记为
A1,A2,…,Al，其中聚类组中Aj(j=1,2,…,m)的元素个数为kj，则kj≥1且m.
按照元素个数从多到少的顺序对A1,A2,…,Al进行降序排列，得到序化后的聚类组.为了方便，仍记为A1,A2,…,Al，各组元素个数满足kj≥kj+1(j=1,2,…,l).
对于序化后的聚类组Aj(j=1,2,…,m)，称为Aj中信息的规模.在决策过程中，决策者对各组信息规模的偏好程度会有所差异.基于这种差异，下面给出一种对各子数据组的信息规模进行调整的方法.
(1)当决策者偏好群体共识时，聚类组Aj的信息规模调整值为)λj+1，其中λj是调整因子，λj∈[0,1]且λj=1.λj的选取可以参考文献[13]和[14].
(2)当决策者对信息规模没有偏好时，聚类组Aj的信息规模调整值为.
定义9 设序化后的聚类组A1,A2,…,Al对应的密度加权向量为ε=(ε1,ε2,…,εl)T，则密度权重εj的表达式为，其中εj∈[0,1]且.
定义10 对于任意区间直觉模糊数的集合，若
其中，密度加权向量为ε=(ε1,ε2,…,εl)T，Θ(Aj)为已有的信息集结算子.将UIFDWA算子和IIFDWGA算子统称为区间直觉模糊数的密度算子.
定义11 对于任意区间直觉模糊数的集合，令
定理1 对于任意区间直觉模糊数集合1, 2, …, m}，其中，则由IIFDWAε,WAA
算子集成结果仍为区间直觉模糊数，且
定理2 对于任意区间直觉模糊数集合1, 2, …, m}，其中，则由IIFDWGAε,WAA 算子集成结果仍为区间直觉模糊数，且
区间直觉模糊数密度中间算子也可以与Max算子、Min算子、OWA算子等合成
为新的信息集结算子，这里不一一赘述.
设X={x1,x2,…,xm}为方案集，U={u1,u2,…,un}为属性集，ω=(ω1,ω2,…,ωn)T为属性加权向量，满足.决策矩阵A=(aij)m×n，其中aij为针对方案xi在属性uj下
的决策值为区间值直觉模糊数.
区间值直觉模糊密度算子的多属性决策方法步骤如下：
步骤(1) 将决策矩阵A=(aij)m×n的每一行根据区间值直觉模糊集聚类方法进行聚类；
步骤(2) 确定每行密度加权权重向量；
步骤(3) 利用区间值直觉模糊密度算子对每行进行集结, 得到
αi=IIFDM(ai1,ai2,…,am).
步骤(4) 计算每个αi的得分函数值，如果得分函数值s(αi)相等，需要计算精确函
数值H(αi)；
步骤(5) 根据得分函数值s(αi)和精确函数值H(αi)的大小进行排序；
步骤(6) 根据集结结果i进行排序，选出最优方案.
例2 某单位在对干部进行考核选拔时，首先制定了6项考核指标：思想品德(G1)，工作态度(G2)，工作作风(G3)，文化水平和知识结构(G4)，领导能力(G5)，开拓能力(G6).指标权重向量为ω=(0.2,0.1,0.25,0.1,0.15,0.2)T.然后，由群众推荐并评议，确定了5位候选人.假设每个候选人在各指标下评估信息，经过处理后可表示为区
间直觉模糊数，如表1所示.
(1)根据聚类方法，计算每个区间值直觉模糊数所对应的隶属度期望值和非隶属度
期望值，见表2.
根据上述对进行分类，得到聚类组如下：
A1的分组为 B1={x12,x13,x16}，B2={x11,x15}，B3={x14}，
A2的分组为B1={x21,x22,x23,x24,x26}，B2={x25}，
A3的分组为B1={x31,x33,x35,x36}，B2={x32}，B3={x34}，
A4的分组为B1={x42,x44,x45}，B2={x42,x46}，B3={x41}，
A5的分组为B1={x53,x54,x55}，B2={x51,x56}，B3={x52}，
(2)密度加权向量的确定.
假设决策者对信息没有偏好,求得每个聚类的密度加权向量分别为
(3)利用区间值直觉模糊密度算子对每行进行集结，得到候选人的综合属性值. A1∶UIFDWAε,WAA=
A2∶UIFDWAε,WAA=
A3∶UIFDWAε,WAA=
A4∶UIFDWAε,WAA=
A5∶UIFDWAε,WAA=
(4)计算每个αi得分函数值,s(α1)=0.288 05, s(α2)=0.155 6, s(α3)=0.434 85, s(α4)=0.463, s(α5)=0.236.
(5)按得分函数值s(αi)的大小进行排序,显然s(α4)>s(α3)>s(α1)>s(α5)>s(α2).
(6)根据集结结果i进行排序，选出最优方案,候选人的排序为
A4≻A3≻A1≻A5≻A2,故最佳候选人为A4.。