2013年高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第1讲 函数及其表示教案 理 新人教版
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第1讲函数及其表示
【2013年高考会这样考】
1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.
2.考查分段函数的简单应用.
3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.
【复习指导】
正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:(1)求函数的定义域的方法;(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用.
基础梳理
1.函数的基本概念
(1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.
(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
(4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.
2.函数的三种表示方法
表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法.
3.映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
一个方法
求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:
①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b 即可求出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域.
两个防范
(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
(2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.
三个要素
函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关
系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f :A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .
双基自测
1.(人教A 版教材习题改编)函数f (x )=log 2(3x
+1)的值域为( ). A .(0,+∞) B .[0,+∞) C .(1,+∞) D .[1,+∞)
解析 ∵3x
+1>1,
∴f (x )=log 2(3x
+1)>log 21=0. 答案 A
2.(2011·江西)若f (x )=
1log 1
2
2x +1,则f (x )的定
义域为( ).
A.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫-12,0 B.⎝
⎛⎦
⎥⎥⎤
-12,0 C.⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫-12,+∞ D .(0,+∞)
解析 由log 1
2(2x +1)>0,即0<2x +1<1,
解得-1
2<x <0.
答案 A
3.下列各对函数中,表示同一函数的是( ).
A .f (x )=lg x 2
,g (x )=2lg x
B .f (x )=lg x +1
x -1
,g (x )=lg(x +1)-lg(x -1)
C .f (u )=
1+u
1-u
,g (v )= 1+v
1-v
D .f (x )=(x )2
,g (x )=x 2
答案 C
4.(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ).
A .y =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
x 10 B .y =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
x +310 C .y =⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
x +410 D .y =⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
x +510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,即余数分别为7、8、
9时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为y =⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
x +310.故选B. 答案 B
5.函数y =f (x )的图象如图所示.那么,f (x )的定义域是________;值域是________;其中只与x 的一个值对应的y
值的范围是________.
解析任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)图象没有交点;当a在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点.
任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,则b在函数y=f(x)的值域内;当直线y=b与函数y=f(x)的图象没有交点,则b不在函数y=f(x)的值域内.
答案[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
考向一求函数的定义域
【例1】►求下列函数的定义域:
(1)f(x)=|x-2|-1
log2x-1
;
(2)f(x)=ln x+1
-x2-3x+4
.
[审题视点] 理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.解(1)要使函数f(x)有意义,必须且只须