《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数的奇偶性及周期性(含解析)
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第四节 函数的奇偶性及周期性
[知识能否忆起]
一、函数的奇偶性
二、周期性 1.周期函数
对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.
[小题能否全取]
1.(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A .y =sin x B .y =x 3 C .y =e x
D .y =ln
x 2+1
解析:选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y =sin x 为奇函数.幂函数y =x 3也为奇函数.指数函数y =e x 为非奇非偶函数.令f (x )=ln x 2+1,得f (-x )=ln
(-x )2+1=ln
x 2+1=f (x ).所以y =ln x 2+1为偶函数.
2.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A .-1
3
B.13
C.12
D .-12
解析:选B ∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数, ∴a -1+2a =0,∴a =1
3
.又f (-x )=f (x ),
2
∴b =0,∴a +b =1
3
.
3.(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f (x ),满足f (x +4)=f (x ),则f (8)的值为( ) A .-1 B .0 C .1
D .2
解析:选B ∵f (x )为奇函数且f (x +4)=f (x ), ∴f (0)=0,T =4. ∴f (8)=f (0)=0.
4.若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________.
解析:法一:∵f (-x )=f (x )对于x ∈R 恒成立,∴|-x +a |=|x +a |对于x ∈R 恒成立,两边平方整理得ax =0,对于x ∈R 恒成立,故a =0.
法二:由f (-1)=f (1), 得|a -1|=|a +1|,故a =0. 答案:0
5.(2011·广东高考)设函数f (x )=x 3cos x +1.若f (a )=11,则f (-a )=________.
解析:观察可知,y =x 3cos x 为奇函数,且f (a )=a 3cos a +1=11,故a 3cos a =10.则f (-a )=-a 3cos a +1=-10+1=-9.
答案:-9
1.奇、偶函数的有关性质:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反之亦然; (3)若奇函数f (x )在x =0处有定义,则f (0)=0;
(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调
性相同;利用偶函数的图象关于y 轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.
2.若函数满足f (x +T )=f (x ),由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期;应
注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期.
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法
典题导入
[例1] (2012·福州质检)设Q 为有理数集,函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
1,x ∈Q ,-1,x ∈∁R Q ,g (x )=e x -1
e x +1,则
函数h (x )=f (x )·g (x )( )
A .是奇函数但不是偶函数
B .是偶函数但不是奇函数
C .既是奇函数也是偶函数
D .既不是偶函数也不是奇函数
[自主解答] ∵当x ∈Q 时,-x ∈Q ,∴f (-x )=f (x )=1;当x ∈∁R Q 时,-x ∈∁R Q ,∴f (-x )=f (x )=-1.综上,对任意x ∈R ,都有f (-x )=f (x ),故函数f (x )为偶函数.∵g (-x )=e -x -1
e -x +1=
1-e x 1+e x =-e x -1
1+e x
=-g (x ),∴函数g (x )为奇函数.∴h (-x )=f (-x )·g (-x )=f (x )·[-g (x )]=-f (x )g (x )=-h (x ),∴函数h (x )=f (x )·g (x )是奇函数.∴h (1)=f (1)·g (1)=e -1e +1
,h (-1)=f (-1)·g (-1)=
1×e -1-1e -1+1=1-e 1+e
,h (-1)≠h (1),∴函数h (x )不是偶函数. [答案] A
由题悟法
利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例).
[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (-x )与f (x )的关系,只有对各段上的x 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.
以题试法
1.判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )=1-x 2+x 2-1;