机械振动(总复习)

机械振动基础

第一章导论

§1.1 引言

§1.2 振动的分类

§1.3 离散系统各元件的特征

§1.4 简谐振动及其表示方法

§1.5 叠加原理

§1.6 振动的幅值度量

第二章单自由度系统

§2.1 引言

§2.2 无阻尼自由振动

§2.3 阻尼自由振动

§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动§2.5 简谐强迫振动理论的应用

§2.6 周期强迫振动

§2.7 非周期强迫振动

第三章二自由度系统

§3.1 引言

§3.2 运动微分方程

§3.3 不同坐标系下的运动微分方程

§3.4 无阻尼自由振动

第四章多自由度系统

§4.1 运动微分方程

§4.2 固有频率与振型

§4.3 动力响应分析

§4.4 动力响应分析中的变换方法

第五章随机振动

§5.1 随机过程

§5.2 随机过程的数字特征

§5.3 平稳过程和各态历经过程

§5.4 正态随机过程

§5.5 相关函数

§5.6 功率谱密度函数

§5.7 线性振动系统在单——随机激励下的响应§5.8 线性系统在两个随机激励下的响应

第一章导论

§1.1 引言

振动：指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化。

机械振动：机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。

机械振动研究对象：机械或结构，在理论分析中要将实际的机械或结构抽象为力学模型，即形成一个力学系统。

激励或输入：外界对振动系统的激励或作用。

响应或输出：系统对外界影响的反应，如振动系统某部位产生的位移、速度、加速度及应力等。

机械振动研究内容：研究激励、响应和系统三者之间的关系。

激励、系统和响应三者知其二可求出第三者。

常见的振动问题的三种基本课题：

1．振动设计已知外界激励的条件下设计系统的振动特性，使其响应满足预期的要求。

2．系统识别根据已知的激励与响应的特性分析系统的性质，得到振动系统的全部参数。

3．环境预测已知系统振动性质和响应，研究激励的特性。

§1.2 振动的分类

1.2.1 线性振动和非线性振动

振动可分成线性振动和非线性振动两种。

线性振动：系统在振动过程中，振动系统的惯性力、阻尼力、弹性力分别与绝对加速度、相对速度、相对位移成线性关系。线性振动系统可以用线性微分方程描述。

非线性振动：系统的惯性力、阻尼力、弹性力与绝对加速度、相对速度、相对位移不是线性关系。非线性振动系统只能用非线性微分方程描述。

1.2.2 确定性振动和随机振动

确定性振动：系统的振动对任意时刻t，都可以预测描述它的物理量的确定的值x。反之为随机振动。

在确定性振动中，振动系统的物理量可以用随时间变化的函数描述。

随机振动只能用概率统计方法描述。

1.2.3 离散系统和连续系统

系统的自由度数：描述系统运动所需要的独立坐标的数目。

连续系统：振动系统的质量和刚度都是连续分布的，需

要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方程是偏微分方程。

离散系统：在结构的质量和刚度分布很不均匀时，或为了解决实际问题的需要，把连续结构简化为由若干个集中质量、集中阻尼和集中刚度组成的系统。离散系统是指系统只有有限个自由度。描述离散系统的振动可用常微分方程。

1.2.4 其他的分类

按外界激励情况和系统对激励的响应情况分类。

按激励情况分类：

自由振动：系统在初始激励下或原有的激励消失后的振动。

强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。

按响应情况分类：

大致可分为确定性振动和随机振动。其中确定性振动又可分为：

简谐振动：振动的物理量为时间的正弦或余弦函数。

周期振动：振动的物理量为时间的周期函数，可用谐波分析的方法归结为一系列简谐振动的叠加。显然，简谐振动也是周期振动。

瞬态振动：振动的物理量为时间的非周期函数，在实际的振动中通常只在一段时间内存在。

§1.3 离散系统各元件的特征

离散振动系统三个最基本的元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。

弹性元件：忽略其质量和阻尼，在振动过程中储存和释放势能。弹性力与其两端的相对位移成比例，方向相反。

)(122x x k F s --=

线性扭转弹簧：

)(122θθ--=t s k T

阻尼元件：在振动过程中消耗振动能量。在线性振动系统中，阻尼力的大小与阻尼元件两端的相对速度成比例，方向相反，这种阻尼又称为粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的质量和弹性。

)(122x x c F d &&--=

惯性元件：完全刚性且无阻尼，在振动过程中储存和释放动能。集中质量的惯性力与惯性坐标系下的加速度(绝对加速度)成正比，方向相反。

x m F m &&-=

扭转振动系统：

θ&&I T m -=

若干个元件串联或并联的情况，等效刚度、等效阻尼和

等效质量。

§1.4 简谐振动及其表示方法

1.4.1 简谐振动

周期运动满足

)()(t x T t x =+

简谐运动满足：

)sin()(θω+=t A t x 或 )cos()(?ω-=t B t x

T πω2=

ω21==T f 1.4.2 两种常用的简谐振动表示方法

1.向量表示法

2.复数表示法

§1.5 叠加原理

叠加原理：一个线性振动系统，激励F 1(t )、F 2(t )、……F n (t )，分别对应于响应x 1(t )、x 2(t )、……x n (t )，若激励为F 1(t)=c 1F 1(t)+c 2 F 2(t)+...... + c n F n (t)，则有对应的响应x (t )= c 1 x 1(t)+ c 2 x 2(t)+...... + c n x n (t)成立。

§1.6 振动的幅值度量

1．峰值 max )(t x X =

2．平均值 ?∞→=T

dt t x T T x 0)(1lim

3．均方值 ?∞→=T dt t x T

T x 022)(1lim 4．均方根值(rms) 是2x 的平方根。2x x rms =

第二章单自由度系统

基本内容：

无阻尼自由振动

阻尼自由振动

单自由度系统的简谐强迫振动

简谐强迫振动理论的应用

周期强迫振动

非周期强迫振动

§2.1 引言

单自由度系统：只有一个自由度的振动系统。可用一个

常系数的二阶线性常微分方程描述其振动规律。

§2.2 无阻尼自由振动

自由振动：系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。

2.2.1 运动微分方程

列出系统的运动微分方程步骤：

1. 取一个坐标系，原点为静平衡时质量所在位置。

2. 设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图。

3. 按牛顿第二定律写出运动微分方程。

4. 确定系统初始的运动状态。

???===+0

0)0(,)0(0

x x x x kx x m &&&&

或

???===+0

)0(,)0(0

x x x x x x n &&&&ω

系统的固有频：m k n /=ω

方程的通解为：

)cos(sin cos 21?ωωω-=+=t A t A t A x n n n

n n

x x arctg x x A x A x A ω?ωω

00201)/(/,&&&=+===

单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。

周期：k

m T n πωπ

22== 频率：m k

T f n

n ππω2121=== 系统的动能、势能：2221,21

kx U x

m E t ==& 0)(=+U E d t

即

常数==+E U E t

无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。

E kA U E t ===2max max 2

1 定义动能系数：2max 22

121'x m mA T == '//max 2T U m k n ==ω

对于单自由度系统无阻尼自由振动系统，有以下结论：

1. 单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。运动的中点为系统的静平衡位置。

2. 振动频率只与系统的刚度、质量有关。

3. n ω、n f 与k 成正比而与m 成反比。

4. 振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。振动时动能、势能不断相互转换。

上面的结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助于简化问题的求解。

2.2.2 求固有频率的方法

方法1：列出系统运动微分方程，求出系统的固有频率，m k n /=ω。需已知系统的刚度和质量。

方法2：静态位移法。根据虎克定律，弹簧质量系统静止时在重力的作用下弹簧被压缩，有：mg k =?

故：?==//2g m k n ω

方法3：能量法。用能量法求固有频率有两种方法：

①一种方法是求出系统的动能和势能，再根据0)(=+U E d t 求出系统的运动微分方程，从而得到固有频率。

②另一种方程是求出系统的最大势能和动能系数 2max 22

121'x m mA T ==，然后根据'//max 2T U m k n ==ω求出固有频率。

2.2.3 有效质量

离散系统模型约定，系统的质量集中在惯性元件上，弹性元件无质量。当弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它会使计算得到的固有频率住偏高。

可以采用能量等效的方法，加大惯性元件的数值，使惯性元件的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略去。

对于质量均布弹簧，在考虑弹簧质量的条件下，系统的固有频率：

/'m m k n +=ω 系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。它并不一定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。

等效刚度的定义同理。

§2.3 阻尼自由振动

阻尼：度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼

粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。

阻尼自由振动系统运动微分方程为：

??===++00)0(,)0(0x x x x kx x c x m &&&&& 定义系统的临界阻尼：n e m mk c ω22==

定义ζ为系统的阻尼比（相对阻尼系数）：

022c c mk c m c n ===

ωζ 利用ζ，可把阻尼自由振动系统运动微分方程为变换为：

022=++x x x n n ωζω&&&

根据ζ的大小，可得到三种不同形式的解：

1. ζ>1：强阻尼(过阻尼)。

系统运动微分方程的通解为：

)(121122t t t n n n e A e A e x ωζωζζω----+=

)1(2120002,1n

n x x x A ωζζω-+±=& 强阻尼情况下系统的运动不是振动。

2. ζ＝1：临界阻尼。

系统运动微分方程的通解为：

t t n n te A e A x ωω--+=21

00201,x x A x A n ω+==&

临界阻尼情况下系统的运动也不是振动。

3. ζ<1：弱阻尼。

系统运动微分方程的通解为：

)cos()sin cos (21?ωωωζωζω-=+=--t Xe t c t c e x d t d d t n n

d n x x c x c ωζ

ω/)(,00201+==& 定义阻尼固有频率：n d

ωζω21-= 只有当弱阻尼时，系统的运动才是振动（衰减振动）。随着时间增长，即t 趋于无穷时，振动逐渐衰减为零，系统趋于静止。由于有衰减项t n

e ζω-，振动既不是简谐振动，也不是周期振动。在阻尼自由振动时，振动的振幅随时间增长按指数规律衰减。

阻尼对自由振动的频率，周期都有影响。

2121ζωπωζω-==-=T T d d n d 由于存在阻尼，振动频率降低，振动周期增大。

阻尼对阻尼自由振动的振幅影响很大。由于阻尼的存在，可有效地抑制振幅。

定义对数衰减率： 22

112ln ζπζδ-==x x 有：22)2(δπδ

ζ+=

可以测出系统阻尼自由振动时的响应，求出对数衰减率，进而得到系统的阻尼比。

§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动

简谐强迫振动：激励是时间简谐函数。

2.4.1 系统在简谐激励下的响应

单自由度简谐强迫振动系统运动微分方程：

)(t f kx x c x m =++&&&

简谐激励：t kA t F t f ωωcos cos )(0==

定义A 为：k F A /0=

简谐强迫振动系统运动微分方程：

t A x x x n n n ωωωζωcos 222=++&&&

单自由度简谐强迫振动系统运动微分方程是二阶常系

数非齐次线性常微分方程。

它的解由两部分组成：通解+特解

一部分是方程022

=++x x x n n ωζω&&&

对应的齐次方程的通解，由于系统存在阻尼，这部分解只在振动开始后的一段时间内有意义，超过这段时间后，由于阻尼的影响，最终被衰减到零（瞬态响应）。

另一部分是t A x x x n n n ωωωζωcos 222=++&&&的一个特解，它表示系统在简谐激励下的强迫振动，为稳态解，其响应称为稳态响应。

特解可表示为：

)cos(?ω-=t X x

222)/2(])/(1[n n A

X ωζωωω+-=

2)/(1/2n n arctg

ωωωζω?-=

稳态解（特解）为 2222)/2(])/(1[])/(1/2cos[)(n n n n arctg

t A t x ωζωωωωωωζωω+---=

单自由度系统受简谐激励的微分方程的解为：

)cos(1?ω-+=t X x x

从稳态解（特解）可以得出：激励幅值的大小只影响稳态响应的幅值，二者之间成正比，并不影响稳态响应的相角。而激励频率既影响稳态响应的幅值，也影响稳态响应的相

角。

2.4.2 复频率响应幅频特性与相频特性

定义复频率响应)(ωH ：)

/(2)/(11)(2n n i H ωωζωωω+-= )(ωH 的模为系统的放大因子：

222)/2(])/(1[1)(n n H ωζωωωω+-= )()/2(])/(1[222ωωζωωωH A A

X n n =+-= 或 A X H /)(=ω

)(ωθ为复频率响应)(ωH 的幅角：2)/(1/2)(n n arctg

ωωω?ω?ωθ--=-= 系统在简谐激励下的稳态响应（稳态解）可表示为：

)cos()(]

)(Re[]Re[)(?ωωω?ω-===-t H A e H A z x t i

引入复频率响应的意义：复频率响应)(ωH 可以用来描述激励频率对系统稳态响应的影响。它的模)(ωH 体现了激励频率对响应幅值的影响，它的幅角)(ωθ体现了激励频率对响应相位的影响，静位移A 体现了激励幅值对响应幅值的影响。系统的复频率响应只取决于两个参数：激励频率和系统固有频率的比值(频率比)n ωω/和系统的阻尼比ζ即

),/()(ζωωωn H H =

幅频特性图和相频特性图：横坐标---频率比n ωω/，系统的阻尼比ζ为参数，纵坐标---放大因子)(ωH 或相角?。

图幅频特性图和相频特性图

从幅频特性图和相频特性图可以看出：当2/1>ζ时（ζ﹥0.707），放大因子没有峰值。这时在整个频率范围内，)(ωH ≤l 。通常把2/1<ζ称为小阻尼情况。只有在小阻尼情况下，放大因子)(ωH 才在ω>0时有峰值，而且峰值)(ωH max >1。

关注0=ω、∞、n ω这三个特殊点，)(ωH 和)(ω?分别为

ζω21)(,0)(,1)0(==∞=n H H H

2/)(,)(,0)0(πω?π??==∞=n

根据频率比n ωω/的大小，可以把系统响应分成三个不同的范围，由向量图可清楚看出这三个范围的特点。 ①当n ωω/<<1时：激励主要是与弹性力平衡。因为激励的频率很低，系统的速度、加速度都很小，相应地阻尼力、惯性力也很小，响应的振幅接近于静位移。

②当n ωω/>>1：激励主要是与惯性力平衡。因为激励频率很高，使激励力方向变化过快，系统由于惯性来不及跟随。

③当n ωω≈即共振时：响应的振幅比静位移大，激励力与阻尼力平衡，弹性力与惯性力平衡。称n ωω/＝1附近为系统的共振区。

峰值点并不在频率比n ωω/=l 的位置，而在

221/ζωω-=n 处，即激励频率小于固有频率的地方。

2.4.3 能量关系与等效阻尼

1. 能量关系

对于无阻尼系统，由于无阻尼，振动时无能量消耗。当激励频率n ωω≠时，无能量输入，外力对系统不做功。当n ωω=时，外力对系统做功，使系统能量越来越大，以致振动的振幅越来越大。

无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。在实际中有些机械结构在起动或停机时无法避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通过共振区的办法来解决。

2. 等效阻尼

假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。

§2.5 简谐强迫振动理论的应用

2.5.1 旋转失衡引起的强迫振动

图失衡激励下的幅频特性图、相频特性图

特点：

①当0/→n ωω，即转速远低于系统的固有频率时，0→?e X m M ，也就是说失衡激励引起的振动很小。 ②当∞→n ωω/，即转速远高于系统的固有频率时，1→?e X m M ，即响应的振幅M

me X →，为一个确定的值。 ③n ωω/1，即转速接近但略高于系统的固有频率时，响应的振幅最大（共振），

2.5.2 支承运动引起的强迫振动

图支承激励下系统的幅频特性图、相频特性图

特点：

①当2/=n ωω时，无论阻尼比ζ为何值，响应幅值总是与激励幅值相等，即X /A ＝l 。