大学物理教程

v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的 问题称为运动学的第二类问题。
a , v0 , r0
积分
v v (t ) r r (t )
二、求解运动学中的两类问题的一般方法
1、 已知：质点运动学方程 r r (t ) 。
求：v、a 、r 及轨迹方程等。
dv a 3 2x dt
dv dv dx vdv 作变换 3 2x dt dx dt dx
有
vdv ( 3 2 x )dx
根据初始条件作定积分 可得

v 5
vdv (3 2 x )dx
0
3
v 7.81m/s
例题2 以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为 m 的 小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小 球能升达的最大高度是多大？ 解 选取竖直向上为轴的正方向，坐标原点在抛点处。 设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为k，则 空气阻力为 y f kv
10 s
18
微观粒子的最短寿命是
10 s
24
秒是铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的 辐射的9192631770个周期的持续时间。
§1.2
一、质点（mass point）
质点运动的描述
忽略了物体大小和形状，只具有物体的质量的几何点。 说明
相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础
二、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的标准物体。 （运动描 述的相对性）
坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系等
说明 在运动学中，参考系的选择是任意的； 在动力学中则不然。
三、质点位置的描述
1、位置矢量 ( position vector ) 定义：从参考点O 到质点所处位置 P 所引的矢量 r 叫做 质点的位置矢量， 简称位矢。
加速度的大小
a a
2 2 a x a 2 az y
加速度的方向
ay az ax cos , cos , cos a a a
§1.4
一、运动学中的两类问题
变 速 运 动
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度
等问题常称为运动学第一类问题。 微分
r r (t )
四、运动方程 质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。
在直角坐标系中， r x ( t )i y ( t ) j z ( t )k
或：
x x ( t ), y y( t ), z z ( t )
五、轨迹方程( trajectory ) 质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点的运动轨迹。 从运动方程中消去t，则可得：
解法：积分
dv a dt
t2 v v0 a d t t1
t2 r r0 v d t t1

v
v0
t dv adt 0
例题1 一质点沿 x 轴正向运动，其加速度与位置的关 系为 a = 3 + 2x。若在 x = 0 处，其速度v0 = 5m/s，求质点运 动到 x = 3m 处时所具有的速度v。 解 由加速度的定义式得
两边除以 dt 得
det 1 ds v en en dt R dt R
2
因此
dv v a= et + en = a t et + a n en dt R
dv d 2 s at = = 2 d t dt
速度大小变化的快慢
切向加速度
法向加速度
v2 an = R
速度方向变化的快慢
六、圆周运动的第二类运动学问题
切向加速度 at 和 初始条件
积分
速率方程和自然坐标 表示的运动方程
dv aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = dt
v = v0 + at dt
0
t
ds v= dt
角加速度 β 和初始条件 积分
t
s = s(t )
角速度方程和以角量 表示的运动方程
0
d = dt
= 0 + dt
d = dt
= (t )
例题1 一质点作半径为 R = 1.0 m的圆周运动，其运动方程 为 θ = 2t 3+3t，其中 θ 以 rad 计，t 以 s 计。 试求：（1）t = 2s时质点的角位置、角速度和角加速度。 （2）t = 2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。 解 （1）由角速度和角加速度的定义，得
时间内的位移是
2、速度（瞬时速度）
r d r 令t 0 v lim t 0 t d t
方向沿切向，并指向前进方向。
r 定义：平均速度 v t
r r2 r1
速度是位置矢量随时间的变化率。
dx d y dz dr 在直角坐标系中 v i j k dt dt dt dt dx dy dz 2 vx ,vy , vz v v v x v 2 v z2 y dt dt d t 大小
Δs = rΔ
Δs Δθ lim = lim r Δ t →0 Δt Δ t →0 Δt
v r
v = ω ×r
dω 2 a=r et + rω en dt
a t = rβ
an = rω 2
dv v 2 a= et + en = at et + anen dt R
d r d v d2 r v a dt dt2 dt
解法：求导
x x(t ) r xi yj zk y y( t ) 约去（t） x x( y , z )
z z(t )
2） 已知：a及初始条件，求：v ( t )、r ( t )等。
r r 表示质点到参考点的距离。 r 的方向表示质点相对参考点的方位.
在直角坐标系中: 大小： 方向:
r xi yj zk
r r
x2 y2 z2
x y z cos , cos , cos r r r
2、坐标法 ( x , y , z ) 和自然坐标法
dv 2 v 2 2 2 a = a t2 a n ( ) ( ) dt R
三、圆周运动
轨迹为圆的运动称为圆周运动。 1、圆周运动的角量描述 1）角位置

s r
Δθ ω= Δt
s r A
O

B

质点运动学方程 (t ) 2）角位移
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第一篇
力学
力学(mechanics)是研究物体机械运动的规律及其应用的
科学。通常把经典力学分为运动学（kinematics)、动力学 (dynamics)和静力学(statics)。 运动学：研究物体运动的描述。 动力学：研究物体运动与物体间相互作用的联系及其规律。 静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题。
y m mg / k v0 k (1 v mg / k )dv 0 dy v
可得
m m 2 g v 0 mg / k y (v 0 v ) 2 ln k k v mg / k
当小球达到最大高度 H 时，v = 0，可得
kv0 m m2 g H v0 2 ln(1 ) k k mg
方向
vy vz vx cosα , cosβ , cosγ v v v
三、加速度矢量（acceleration）: 表示速度变化的快慢的物理量。
t, t t ,
v 定义：平均加速度 a t 瞬时加速度
v1 v2
v v2 v1
2 v dv d r a lim t 0 t dt dt2
位移矢量的大小
O
s r
r2

r1
z
x
Δr Δx 2 Δy 2 Δz 2
位移矢量的方向
Δx Δy Δz cosα , cosβ , cosγ Δr Δr Δr
二、速度矢量（Velocity）: 表示质点运动快慢及方向的物理量。 1、平均速度 质点在 t t 2 t1
dθ ω= = 6t 2 + 3 dt
dω β= = 12t dt
把 t = 2s代入运动方程、角速度和角加速度方程，可得
θ = 2t + 3t = 2 ×2 + 3 ×2 = 22rad
3 3
ω = 6t 2 + 3 = 6 ×2 2 + 3 = 27rad/s β = 12t = 12 ×2 = 24rad/s 2
设轨迹曲线上A 点的曲率圆半 径为R，曲率圆圆心为O。 设A点的自然坐标为s，曲线 上无限靠近A点的B点自然坐标为s + ds，A、B两点对曲率圆圆心的 张角为 d 。
d
ds Rd det et d en det end
1 det dsen R
§1.5
一、自然坐标系
平面曲线运动
t 时刻的位置
et
O初始位置
en
et、en 方向随位置（时间）变化
质点运动学方程 质点的速度
s s(t )
ds v et dt
二、自然坐标系中的加速度
由加速度的定义
dv d( vet ) a dt dt
det dv et v dt dt
§1.1
空间和时间
一、绝对空间和绝对时间 绝对空间：空间是客观的，与物质、物质的运动无关， 空间的测量是绝对的。 绝对时间：时间的存在是绝对的，与物质、物质的运动 无关，时间的测量是绝对的。 经典力学应用的是绝对时空观的概念。 二、空间的测量 1026 m 微观粒子尺度 1015 m 从宇宙范围的尺度 米是1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度。 三、时间的测量 宇宙的年龄大约是
x x( y, z )
根据轨迹的形状，质点运动分为直线运动和曲线运动。
§1.3
位移
速度
加速度
一、位移矢量( displacement )
从质点初位置到质点末位置所引的矢量 r 定义为位移。 r r2 r1 B
y
在直角坐标系中：
A

r xi yj zk
瞬时加速度是速度随 时间的变化率。
dv 大小： a a dt
方向：t0 时 的极限方向。在曲线运动中， 总是指向曲线的凹侧。
v
在直角坐标系中： 其中分量为
a a x i a y j az k
d v y d2 y d vz d2 z d v x d2 x ax ,ay , az 2 2 dt dt dt dt dt dt2
k v 此时小球的加速度为 a g m
即 作变换
v
dv k mg (v ) dt m k
f
mg
vdv dv dv dy dy dt dy dt
O
整理则得
m mg / k (1 )dv dy k v mg / k
根据初始条件，y = 0 时v = v0 ，作定积分
设加速度与法向加速度的夹角为α，则
at 24 tan 0.0329, 1.90 an 729
极轴
x
3）角速度 平均角速度
瞬时角速度
z

Δθ dθ ω = lim = Δt →0 Δt dt
r
v



角速度是角位置随时间的变化率。 的方向规定为与转向成右手螺旋关系。
y
x
4）角加速度
平均角加速度
Δω β= Δt
瞬时角加速度 四、角量与线量的关系
Δω dω d 2θ β = lim = = 2 Δ t →0 Δt dt dt
（2）根据线量与角量的关系，可得
at = Rβ an = Rω 2
加速度
= 1.0 ×24 = 24m/s2 = 1.0 ×272 = 729m/s2
a = at et + anen = 24et + 729en (m/s 2 )
加速度的大小
2 a at2 an 242 7292 729m/s 2