高等计算流体力学讲义(1)

高等计算流体力学讲义(1)

第一章 计算流体力学基本原理

第1节 流体力学基本方程

一、 非定常可压缩Navier －Stokes 方程

不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N －S 方程可以写为下列向量形式：

()

()

()

0v v v t

x

y

z

∂∂-∂-∂-+

+

+

=∂∂∂∂U F F G G H H ， (1)

其中

u v w E ρρρρρ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U 2()u u p uv uw E p u ρρρρρ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭F 2

()v vu v p vw E p v ρρρρρ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭G 2()w uw vw

w p E p w ρρρρρ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭

H ， 0

xx xy v xz

xx xy xz

T u v w k x ττττττ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

=

⎪ ⎪

⎪

∂+++ ⎪∂⎝

⎭F 0xy yy v yz

xy yy yz

T u v w k y ττττττ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=

⎪ ⎪ ⎪∂+++ ⎪∂⎝

⎭

G ， 0

xz zy v zz

xz zy zz

T u v w k z ττττττ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=

⎪ ⎪

⎪∂+++ ⎪

∂⎝

⎭

H 。 如果忽略N －S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler 方程：

0t

x

y

z

∂∂∂∂+

+

+

=∂∂∂∂U F G H 。 (2)

方程(1)、(2)称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，,,,,,,v v v U F G H F G H 均为列向量，U 是方程的解向量，称为守恒变量；,,,,,v v v F G H F G H 称为通量（flux ），具体说,,F G H 为无粘通量，

,,v v v F G H 为粘性通量。

所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。(1)，(2)式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是散度形式。显然，(1)，(2)式的另一种等价形式为：

0t

∂+∇=∂U E

， (3)

其中 ()()()v v v =-+-+-E F F i G G j H H k

，

或

=++E Fi G j H k

，

通量张量，,,i j k 为直角坐标系三个坐标轴方向的单位基矢量。把(3)式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss 公式，有

0S

d dS t

Ω

∂Ω+

=∂⎰⎰⎰⎰⎰

U E n

。 (4)

这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。(4)式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而(1)、(2)或(3)是则是有限差分方法的出发方程。

二、流体力学方程的简化形式

根据具体流动状态，N －S 方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：

图1.N －S 方程的简化形式

三、 曲线坐标系中的基本方程

当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。在曲线坐标中，矢量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。最简单，应用也最普遍的形式是矢量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。

直角坐标到曲线坐标的变换及其逆变换关系为：

(,)(,)x y x y ξξηη== (5) (,)(,)

x x y y ξηξη== (6)

1、导数的变换

对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有

x x x

φφφξηξ

η

∂∂∂=+

∂∂∂ 。 (7)

同理可得

y y y

φφφξηξ

η

∂∂∂=

+

∂∂∂。 (8)

对于二阶偏导数，有

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2(

)

(

)(

)

[

][]

()2

()

x x xx xx x

x

xx xx x x x x x x xx xx x x x x x

x x x φφ

φξηξ

η

φφφ

φ

ξηξηξηξη

φφφφφφξηξξηηξηξηξ

ξηξηη

φφφφ

φξηξξηηξ

η

ξ

ξη

η

∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂=

+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

+++

++

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

+

+

++

∂∂∂∂∂∂。

同理可得

2

2

2

2

2

2

2

2

2

()2

()yy yy y y y y y φφφφφφξηξξηηξ

η

ξ

ξη

η

∂∂∂∂∂∂=

+

+

++

∂∂∂∂∂∂∂，

2

22

2

2

2()xy xy x y x y y x x y x y

φφφφφ

φξηξξξηξηηηξ

η

ξ

ξη

η

∂∂∂∂∂∂=

+

+

+

++

∂∂∂∂∂∂∂∂。

把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace 方程

2

2

22

x

y

φφ∂∂+

=∂∂

为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace 方程，得

2

2

2

22

22

22

[()()]2[][()()]

()()0

x y x x y y x y xx yy xx yy φφφξξξηξηηηξξη

η

φφξξηηξ

η

∂∂∂++++

+∂∂∂∂∂∂+

++

+=∂∂。 (9)

2、度量系数及其计算方法

在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数：,,,x y x y ξξηη。这些系数称为坐标变换公式(5)对应的度量系数（metrics ）。我们看到，为了求解计算平面中的偏微分方程，如(9)式，必须确定度量系数（有时还包括

,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系(5)、(6)的离散表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造,,,x y x y ξξηη的差分近似是不容易的。以x ξ为例，根据偏导数的意义，x ξ为y 保持不变时ξ随x 的变化，如图2所示，网格点P 处的x ξ的计算公式应为：