反三角函数大全

反三角函数

Inverse trigonometric functions

第1节反三角函数·概述

原创/O客

把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。

它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●反正弦的值域

先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。

正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。

但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。

●请参考我的三角函数salon

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第2节反三角函数·理解与转化

原创/O客

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●符号理解

初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。

一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。

另一方面，符号arc sinx可以用下面的三句话来理解：

①它是一个角。即一个实数。arc sinx∈R.

②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx≤π/2。

③这个角的正弦值等于x。sin(arc sinx)=x.

●互化

反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。

有互化公式（充要条件）如图。

α=arc sinx

x=sinα

|x|≤1 -π

2≤α≤

π

2

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第3节反正弦函数的图象和性质

原创/O客

函数名称反正弦函数

解析式y=arc sinx

图象反正弦曲线（图3）

1.定义域[-1,1]

2.值域[-π/2, π/2]

3.有界性|y|≤π/2

4.最值x=1时，y max=π/2

x=-1时，y min=-π/2

5.单调性增函数

6.奇偶性奇函数.

7.周期性无

8.对称性关于原点对称

9.反函数y=arc sinx，x∈[-π/2, π/2]

10.与反余弦的关系arc sinx+arc cosx=π/2

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第4节 反余弦函数的图象和性质

原创/O 客

函数名称 反余弦函数

解析式 y=arc cosx

图象 反余弦曲线（如图）

1.定义域 [-1,1]

2.值域 [0, π]

3.有界性 0≤y ≤π

4.最值 x=-1时，y max=π

x=1时，y min=0

5.单调性 减函数

6.奇偶性 非奇非偶函数

7.周期性 无

8.对称性 对称中心(0, π/2)

9.反函数 y=cosx, x ∈[0, π]

10.与反正弦的关系 arc sinx+arc cosx=π/2

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函数 y=arc cosx 的图象