暑假五年级奥数几何长方体与正方体涂色与三视图a级教师版

2016年暑假五年级奥数第三讲（教师版）

长方体与正方体涂色与三视图

一、表面涂色问题：

对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：

三面涂红色的在顶点处

两面涂红色的在棱长处

一面涂红的表面中间部分

每面都没涂色的只有正方体体内。

三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形

【例 1】右图是333

⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；

两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412

-⨯+-⨯+-⨯=块；

【答案】8, 12

【巩固】右图是456

⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；

两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436

-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8, 36

【例 2】右图是333

⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？

一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26

-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1

-⨯-⨯-=块【答案】6, 1

【巩固】右图是456

⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【解析】一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．

(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252

六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1

-⨯-⨯-=块

【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形

只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？

【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；

所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78

【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．

【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516

+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415

+=块；沿着高边等距离

切n刀，可切为1

n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共n n

-⨯-⨯+-=-个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，(62)(52)(12)12(1)

n-=，解得3

12(1)24

n=．【答案】3

【例 4】右图是115

⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？

【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；

【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；

【巩固】右图是225

⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？

【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；

【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正

方体有2面

【例 5】右图是125

⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？

【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；

【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；

【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。

【解析】因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块。

【答案】8块

【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的。（填序号）2007年，第五届希望杯，5年级初赛，第9题，6分【答案】③

【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从右侧面看这个立方体，看到的图形是图。

A B C D

【答案】B

【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形

正视图上视图右视图

【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形

【解析】如下：

【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下

图b，则这个形体最多由_______个小正方体构成。

【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：

可知，最多由13块正方体构成【答案】13

【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由________个小正方体构成。

【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：

可知，最少由11块正方体构成【答案】11

【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最

多用了________块木块.

【解析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。

【答案】最多25

【巩固】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最少用了_____块木块。解析：从上往下看，分别如左下图和右下图(图中数字为每一格的木块数)。【答案】最少9

【例 10】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了块

木块．

图1图2

【解析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中